June 21, 2026 · 8:10 AM

高阶导数：对导数继续求导，看变化率怎样变化

第10期。用速度与加速度建立高阶导数直觉，讲清二阶、三阶、n阶导数的定义和记号，并用多项式与复合函数两道例题演示连续求导的步骤和常见误区。

前面几期里，导数回答的是「函数在这一点变得有多快」。高阶导数再往前追一层：这个变化率本身又在怎样变化。如果把

f^{'} (x)

看成一个新函数，只要它还能求导，就可以继续求

f^{''} (x)

、

f^{'''} (x)

，一直写到

f^{(n)} (x)

。这种「对导数再求导」的结果，通常统称为高阶导数。1

高阶导数先抓住三句话

今天只需要把一阶导数继续当函数处理

一阶导数

变化率

二阶导数

变化率的变化率

n 阶导数

连续求 n 次导

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直觉铺垫：速度再变化，就是加速度

最容易理解的例子是运动。设

s (t)

表示物体在时刻

t

的位置，那么

s^{'} (t)

表示速度；速度本身如果还在变化，它的导数

s^{''} (t)

就表示加速度。OpenStax 在讲导函数时也强调：导数可以作为新的函数继续研究，函数

f

的导函数

f^{'}

给出原函数在各点的导数值。2

所以，高阶导数不是新规则，而是旧规则重复使用。第一次求导看「斜率」，第二次求导看「斜率变快还是变慢」。在函数图像里，二阶导数会和图像的弯曲方向联系起来；这个应用后面讲函数单调性、凹凸性时会正式用到。

精确定义与记号

设函数

f (x)

在某区间内可导。如果

f^{'} (x)

也可导，就把

f^{'} (x)

的导数称为

f

的二阶导数：

f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'} .

如果

f^{''} (x)

还可导，就定义三阶导数：

f^{'''} (x) = (f^{''} (x))^{'} .

一般地，

n

阶导数记作：

f^{(n)} (x) = (f^{(n - 1)} (x))^{'} .

阶数	常用记号	Leibniz 记号
一阶	$f^{'} (x)$	$\frac{d y}{d x}$
二阶	$f^{''} (x)$	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$
三阶	$f^{'''} (x)$	$\frac{d ^{3} y}{d x ^{3}}$
$n$ 阶	$f^{(n)} (x)$	$\frac{d ^{n} y}{d x ^{n}}$

从四阶开始，一般不用一直加撇号，而写成

f^{(4)} (x)

、

f^{(5)} (x)

。注意括号不能省：

f^{(2)} (x)

表示二阶导数，而

f^{2} (x)

通常表示

[f (x)]^{2}

。这个区别在高阶导数记号里很容易出错。1

例题 1：多项式会在有限步后归零

求

f (x) = x^{5}

的前六阶导数。

分析思路： 每次求导都用幂函数公式

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

。指数每求一次少

1

，系数不断乘下来。

逐步计算：

f^{'} (x) f^{''} (x) f^{'''} (x) f^{(4)} (x) f^{(5)} (x) f^{(6)} (x) = 5 x^{4}, = 20 x^{3}, = 60 x^{2}, = 120 x, = 120, = 0.

结论：

x^{5}

是五次多项式，求到五阶时变成常数，再求一次就归零。更一般地，

n

次多项式从

n + 1

阶开始恒等于

0

。1

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例题 2：别忘了每一步都要重新套规则

求

y = sin (2 x) + e^{- x}

的二阶和三阶导数。

分析思路： 这个函数不是单纯的

sin x

和

e^{x}

，里面有

2 x

、

- x

。每求一次导，都要重新使用链式法则。

第一步：

y^{'} = 2 cos (2 x) - e^{- x} .

第二步继续求导：

y^{''} = - 4 sin (2 x) + e^{- x} .

第三步再求导：

y^{'''} = - 8 cos (2 x) - e^{- x} .

结论：三角函数的符号会循环，但内层系数会一层层乘出来；指数项

e^{- x}

也不会「不变」，因为内层是

- x

，每次求导都会多乘一个

- 1

。

高阶导数计算顺序

每一阶都把上一阶结果当成新函数

第 1 步

先求 y'

第 2 步

把 y' 当新函数

第 3 步

继续套乘积/商/链式法则

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常见误区

把 $f^{(2)} (x)$ 看成平方。 有括号表示二阶导数，没有括号的 $f^{2} (x)$ 才常表示函数值平方。
只在第一步认真，后面凭感觉写。 高阶导数没有省略步骤的特权。上一阶变成乘积、商或复合函数时，下一阶就必须重新套对应法则。
以为所有函数都会循环。 $sin x$ 、 $cos x$ 的导数有四步循环，但 $sec x$ 、 $tan x$ 、 $e^{- x^{2}}$ 这类函数一般不会这么整齐。