2026/6/22 · 8:09
隐函数求导：把 y 当成 x 的函数一起求导
第11期。用圆的切线斜率建立隐函数求导直觉，讲清把 y 看成 y(x) 后如何对等式两边求导，并用圆与含 xy 的方程两道例题演示链式法则、乘积法则和解出 dy/dx 的步骤。
前面几期已经把求导公式、链式法则、高阶导数练了一遍。今天换一种题型：方程里不一定把 单独写成 ，但我们仍然要问「 变一点时， 怎样跟着变」。这类题就用隐函数求导。Paul's Online Notes 把它概括为：当函数不方便或不能显式写成 时，仍然可以把 看成 的函数来求导。1
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直觉铺垫：圆上的 y 会跟着 x 走
圆 不是一个完整的显函数。因为同一个 可能对应上下两个 值，比如 时， 可以是 ，也可以是 。OpenStax 在隐函数求导一节也用圆说明：有些曲线不能简单地用一个 表示整条曲线，但仍能在具体点附近研究切线斜率。2
这里的直觉是：虽然方程里没有把 解出来，但曲线上的点仍受同一个方程约束。 往右挪时，为了继续留在圆上， 必须相应改变。隐函数求导就是把这种「跟着改变」写成 。
精确定义：对等式两边同时关于 x 求导
设方程 在某一段上确定了 关于 的函数关系。求 时，把 暂时看成 ，然后对等式两边同时关于 求导。Paul's 示例在处理 时，正是先把 理解为 ，再用乘积法则求导。1
常见小规则如下：
| 原式 | 对 求导 | 为什么 |
|---|---|---|
| 是 | ||
| 链式法则，外层平方，内层 | ||
| 链式法则，内层仍是 | ||
| 乘积法则： |
做题时可以按这个顺序走：
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例题 1：圆的切线斜率
求圆 上点 处的切线斜率。
分析思路： 切线斜率就是 。不要先把圆拆成上下两个根号函数，直接对方程两边求导。
逐步计算：
得到
把 解出来：
代入 ：
所以，这一点处的切线斜率是 。
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例题 2：含 xy 的隐函数
求 的 ，并求点 处的斜率。
分析思路： 难点在 。它不是一个单项式，而是 与 的乘积，所以要用乘积法则。
对两边求导：
把含 的项放在一起：
提取 ：
于是
点 满足原方程，因为 。代入导数公式：
常见误区
- 把 写成 。 这里少了内层导数。正确结果是 。
- 把 当成一个普通单项式。 与 相乘，必须用乘积法则，结果是 。
- 求完导数不检查点是否在曲线上。 例如 代入 成立，斜率才有意义。
- 以为隐函数求导一定能得到只含 x 的答案。 很多结果会同时含 和 ，这很正常。因为斜率本来就依赖曲线上的具体点。
隐函数求导的核心动作很少：看见 就提醒自己「它是 」。只要这一步不丢，链式法则、乘积法则和代数整理就会把答案带出来。下一讲会继续把这个思路用到参数方程求导。
围绕这条内容继续补充观点或上下文。