基本积分公式：把求导表倒过来用

看到 ，先别急着套公式。它问的是：哪个函数求导以后会变成 ？

因为 ，所以

这里的 不能省。上一期讲过，不定积分给出的不是一个函数，而是一族只差常数的原函数；Paul's Online Notes 也把不定积分定义为最一般的反导数 ，其中 。1

基础积分表的核心是幂函数公式：

意思很直白：指数先加 ，再除以新的指数。这个限制 很关键，因为 时分母会变成 ；这一项要单独记成 。Paul's Online Notes 在基础积分公式中也把幂函数公式、常数积分和 的对数形式分开列出。2

几条最常用的公式可以先放在手边：

计算

分析思路：加减号可以拆开，常数倍可以先放在外面。也就是每一项单独积分，再把结果加回去。不定积分有常数倍规则和和差规则；这也是初学阶段最常用的两个性质。1

逐项算：

最后检查一遍：

能导回原 integrand，答案就稳了。

计算

分析思路：根号和分母看着吓人，其实很多都能改写成幂：

注意， 不能直接用 ，它要走 。

于是：

这类题的关键不是算得多快，而是先把式子整理到公式能识别的样子。

第一， 不要漏。只写 ，等于只写出其中一个原函数；完整的不定积分要写 。

第二， 要跟着写。它告诉你对哪个变量积分，也告诉你积分式到哪里结束。Paul's Online Notes 特别提醒，漏写 会让 integrand 的边界变得不清楚。1

第三，别把积和商拆错。可以拆的是和差：

但一般不能写成：

遇到乘积或商，先看能不能展开、约分、化成幂；不能处理的，后面会用换元积分或分部积分来解决。

今天的目标很简单：看到基础积分式，先把它翻译成「哪个函数求导回来」，再用公式表计算，最后对答案求导验算。下一期再往前走一步：定积分为什么不只是求原函数，而是和面积联系起来。