26/6/2026 · 8:10

基本积分公式：把求导表倒过来用

第15期进入基本积分公式：把幂函数、常数、指数和三角函数的求导公式反过来用，并用两道例题演示逐项积分、根号分母改写和求导验算。

先从一个很小的反推开始

看到

\int x^{3} d x

，先别急着套公式。它问的是：哪个函数求导以后会变成

x^{3}

？

因为

(\frac{x ^{4}}{4})^{'} = x^{3}

，所以

\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C .

这里的

+ C

不能省。上一期讲过，不定积分给出的不是一个函数，而是一族只差常数的原函数；Paul's Online Notes 也把不定积分定义为最一般的反导数

F (x) + c

，其中

F^{'} (x) = f (x)

。1

今天先记住三类基础动作

多数教材基础题，先从这三步开始检查。

反过来想

找谁求导得 integrand

幂函数

指数 +1，再除以新指数

最后补上

+ C

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精确定义：幂函数公式最常用

基础积分表的核心是幂函数公式：

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1.

意思很直白：指数先加

1

，再除以新的指数。这个限制

n \neq = - 1

很关键，因为

n = - 1

时分母会变成

0

；这一项要单独记成

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

。Paul's Online Notes 在基础积分公式中也把幂函数公式、常数积分和

\frac{1}{x}

的对数形式分开列出。2

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几条最常用的公式可以先放在手边：

积分	结果	反向检查
$\int k d x$	$k x + C$	$(k x)^{'} = k$ 2
$\int x^{n} d x$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$	对结果求导会回到 $x^{n}$ 2
$\int \frac{1}{x} d x$	<latex inline="true" source="\ln	x
$\int e^{x} d x$	$e^{x} + C$	$(e^{x})^{'} = e^{x}$ 2
$\int cos x d x$	$sin x + C$	$(sin x)^{'} = cos x$ 2
$\int sin x d x$	$- cos x + C$	$(- cos x)^{'} = sin x$ 2

例题 1：多项式逐项积分

计算

\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x .

分析思路：加减号可以拆开，常数倍可以先放在外面。也就是每一项单独积分，再把结果加回去。不定积分有常数倍规则和和差规则；这也是初学阶段最常用的两个性质。1

逐项算：

\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x = 6 \int x^{2} d x - 4 \int x d x + \int 5 d x = 6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 5 x + C = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C .

最后检查一遍：

(2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C)^{'} = 6 x^{2} - 4 x + 5.

能导回原 integrand，答案就稳了。

例题 2：遇到根号和分母，先改写成幂

计算

\int (3 x + \frac{2}{x ^{3}} - \frac{1}{x}) d x .

分析思路：根号和分母看着吓人，其实很多都能改写成幂：

x = x^{1/2}, \frac{2}{x ^{3}} = 2 x^{- 3}, \frac{1}{x} = x^{- 1} .

注意，

x^{- 1}

不能直接用

\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

，它要走

ln ∣ x ∣

。

于是：

\int (3 x + \frac{2}{x ^{3}} - \frac{1}{x}) d x = \int (3 x^{1/2} + 2 x^{- 3} - x^{- 1}) d x = 3 \cdot \frac{x ^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x ^{- 2}}{- 2} - ln ∣ x ∣ + C = 2 x^{3/2} - x^{- 2} - ln ∣ x ∣ + C .

这类题的关键不是算得多快，而是先把式子整理到公式能识别的样子。

做基础不定积分的检查顺序

每次算完，用这个顺序扫一遍。

先改写

根号、分母 → 幂

再看例外

x⁻¹ → ln|x|

最后验算

对答案求导

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常见误区：最容易丢的不是公式，而是边界

第一，

+ C

不要漏。只写

\frac{x ^{4}}{4}

，等于只写出其中一个原函数；完整的不定积分要写

\frac{x ^{4}}{4} + C

。

第二，

d x

要跟着写。它告诉你对哪个变量积分，也告诉你积分式到哪里结束。Paul's Online Notes 特别提醒，漏写

d x

会让 integrand 的边界变得不清楚。1

第三，别把积和商拆错。可以拆的是和差：

\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x .

但一般不能写成：

\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x \int g (x) d x .

遇到乘积或商，先看能不能展开、约分、化成幂；不能处理的，后面会用换元积分或分部积分来解决。

今天的目标很简单：看到基础积分式，先把它翻译成「哪个函数求导回来」，再用公式表计算，最后对答案求导验算。下一期再往前走一步：定积分为什么不只是求原函数，而是和面积联系起来。

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先从一个很小的反推开始

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