2026/6/25 · 8:11
原函数与不定积分：把求导反过来，别忘了 +C
第14期从求导的反问题进入积分：讲清原函数、不定积分和积分常数 C 的含义，并用两道基础例题演示如何从导数找回函数。
如果你已经会求导，积分的第一步其实很朴素：给你一个导数，能不能把原来的函数找回来？
比如 的导数是 。如果现在只告诉你 ，你能猜回 吗？ 可以， 也可以， 仍然可以。因为常数求导都等于 。
这就是原函数最容易漏掉的一件事：找回来的不是一个函数，而是一族只差常数的函数。
直觉铺垫：求导是压缩，积分是还原
求导会把函数的一部分信息压掉。最典型的就是常数项：
从 往回找时，你只能确定主体是 ，但确定不了最后那个常数。这个常数不是装饰，它表示所有可能的起点。
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精确定义：什么叫原函数
设 是一个函数。如果存在函数 ，使得
那么 就叫作 的一个原函数。如果 是 的一个原函数，那么 也是原函数，其中 是任意常数。不定积分就是原函数全体，通常写作 1：
这里有四个符号要读准：
| 符号 | 读法 | 作用 |
|---|---|---|
| 积分号 | 表示要找原函数 | |
| 被积函数 | 你要「反求导」的对象 | |
| 对 积分 | 告诉你积分变量是谁，也标出被积表达式的结束位置 | |
| 积分常数 | 补回求导时丢掉的常数项 |
先别急着把不定积分理解成面积。面积会在定积分里出现。本节的不定积分更像「把求导倒放一遍」。
下面这张图用 展示 的作用。三条曲线形状相同，只是上下平移；它们的导数都等于 。
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例题 1：直接找一个多项式的原函数
求
思路很直接：逐项找「谁求导后会变成这一项」。常数倍和和差可以逐项处理，这也是不定积分的基本性质之一 1。
第一项：谁求导后得到 ？
第二项：谁求导后得到 ？
第三项：谁求导后得到 ？
所以
检查答案时，把右边重新求导：
求导后消失，正好说明它为什么必须保留。
例题 2：已知导数和一个点，求原函数
已知
求 。
第一步，先把导数积分回去：
逐项计算：
因此
第二步，用 确定 ：
所以
这类题的顺序不要反：先保留 ，再用条件求 。如果一开始把 丢掉，后面的点条件就没地方用了。
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常见误区
- 忘记写 。 不定积分的答案是一族函数，除非题目给了初始条件并要求你求出具体函数，否则 不能省。
- 漏写 。 不是可有可无的小尾巴。它告诉你对哪个变量积分，也告诉你被积表达式到哪里结束。
- 把乘除法也拆开积分。 可以拆的是和差，不能把 写成 ，也不能把商直接拆成两个积分相除 1。
这一讲先把「原函数」「不定积分」「积分常数」三件事放稳。下一步才是熟悉基本积分公式，把今天的反向思路变成更快的计算法。
围绕这条内容继续补充观点或上下文。