官方逐字稿四万字，我读了两遍。机器一夜证完七百个证明那天，最该听的不是欢呼，是三位数学家当场怎么想。要点与逐句译文在下面。
本期要点整理
本期单集由莱克斯·弗里德曼主持，嘉宾是安库尔·莫伊特拉（MIT 数学教授，今年在普林斯顿高等研究院访问）、史蒂文·L·布伦顿（华盛顿大学机械工程，流体力学与机器学习）、亚历克斯·康托罗维奇（罗格斯大学数学杰出教授，数论）。以下按节目原始顺序逐段整理，时间点为官方章节时间点，源自单集页与官方人工逐字稿12；官方视频见3。
一、开场：一份「紧急节目」（00:00–01:56）
莱克斯把这期定性为「紧急节目」：过去几周，机器声称解决了数学史上最难的一批问题——纳维–斯托克斯、准黎曼猜想、唯一游戏猜想，以及数百个其他结果。三位嘉宾分别是华盛顿大学的流体力学专家史蒂文·布伦顿（谈纳维–斯托克斯与湍流）、MIT 数学家与理论计算机科学家安库尔·莫伊特拉（今年在普林斯顿高等研究院访问，谈唯一游戏猜想、复杂性理论与 AI 学习的数学）、罗格斯大学数论学家亚历克斯·康托罗维奇（谈黎曼猜想与 Lean 形式化验证）。他把这次聚会形容为「人类大脑的多智能体小蜂群」。
二、危机时刻：敬畏、恐惧与手电筒（01:56）
- 亚历克斯不认为这是危机：「危机里面有很多机会……我们是进入了某种数学知识的黄金时代。此前几千年，我们手里只有一根蜡烛在树林里走；现在我们有手电筒了。」
- 安库尔：结果落地那晚并不完全意外，几周来就有关于唯一游戏猜想与 RL=L 的传言，甚至还有矩阵乘法。「第一反应是：哇，全是真的。谢天谢地终于放出来了。」他最有概括性的感受是被拉向两个相反方向：工具让跨领域学习变得像「有一个世界级专家用你自己的语言教你」；但「我们用了那么久的成功剧本被扔出窗外」，带学生这件事变得难得多。「我非常兴奋，但也许在智识上比从前更孤独。」
- 莱克斯引陶哲轩原话：「让我感到恐惧的是，许多人年复一年、耐心而刻意放慢的研究工作——尤其是博士生和博士后的工作——被这样一次发布随意地打断或摧毁……就像一个人无法把看过的电影剧透从脑子里关掉一样，一旦知道已有解，你就无法再那么有收获地去探索一个问题。我为那条没有走的路而哀悼。」
- 史蒂文：大部分感受是有希望的——工程师视角，「我们解决真实应用问题的能力会好得多」。但不确定性巨大：未来五到十年要么被另一种智能显得渺小，要么它进入平台期成为了不起的工具，而「那是两个非常不同的世界」。「我们选数学，很可能因为喜欢规则和形式化，而不确定性让人不舒服。」他提出谦逊这一面：人的目的不是出名、不是菲尔兹奖。
- 关于「知道有解就没有动力」：史蒂文反驳——「如果我们发现另一个国家发明了传送术，我保证我们五年内会把它重新发明出来。知道有解本身就是不可思议的动力。」
三、AI 会「解决」数学吗：两条路的最强辩护（10:14）
- 亚历克斯把两件事拆开：「解决数学」与「摧毁数学」不是一回事。国际象棋引擎类比：人马棋只持续了「十秒钟」，此后人类唯一的作用就是「好，我接受第一步」。
- 「已解公理」（solved axiom）：假设未来某刻，任何「人类与 AI 互动能解决」的数学问题，本来也能被 AI 单独解决。他愿意为讨论而接受，但自己并不相信——「我可以证明一个定理，但我不明白这个证明为什么成立」，直到把现象推广、理解更深，才看出证明为何如此运作。
- 纯数学的价值在于它活在人的头脑里：「定理活在数据中心的 0 和 1 里，我不认为这对人类有价值。」
- 安库尔的裂缝：人类在计算上远不如 AI，「同样一条终点线，我脑子里同时能装下的论文和想法就那么几个」，所以人必须发展更可推广、更可抽象的走法——那不只解决一个问题，还解释联系。而 AI 恰恰能把海量论文里那些「看不见的线」抽出来。
- 史蒂文：黄金标准仍是「能有多简单、能推广多远」，而提问的还是人类——「我想让它开始告诉我：我该问什么问题」。已有研究项目在自动发现最小物理定律（落球→引力与 F=ma、流体→纳维–斯托克斯），但天气、湍流、太阳耀斑还没被写成简单方程。
四、AI 能创造新数学吗：气球、半群与 3SUM（26:25）
- 安库尔的反拟人化警告：以深度学习为前车之鉴——马德里《对抗样本是特征，不是缺陷》里，把猫的图片叠上狗的图案、标成狗，用全错标签训练出的网络在自然数据上照样表现良好。AI 可能靠人类不用的统计关系走「后门」。「不要把边界画得太锋利，因为你会画错」；但他读完 OpenAI 的解答后认为「就是不像人类解出来的」，那正是半人马数学的机会。
- 气球 vs 半群：贬义说法是「都在凸包里面」；亚历克斯更认可蒂姆·高尔斯的说法——那是已知走法「生成的半群」，空间比凸包大得多。准 RH 的招法全是人类已知的，但被串成一条极长的连锁。
- 两年前三次 theta 函数与三次高斯和的突破，正是 AI 走通的那条路径；二十年前有类似想法的人现在在捶胸顿足。
- 思想实验：如果那七百个结果里有一个是多项式时间因式分解，信用卡、电商、安全通信「就那么没了」。亚历克斯讲因式分解为何撑起现代密码学、量子算法为何已构成威胁、格基抗量子方案；史蒂文插问「NSA 雇多少数学家」——「几千人」。
- 真正改变地形的例子是 3SUM（Anthropic，维尔吉·瓦西列夫斯卡·威廉姆斯与乔什·阿尔曼）：一个编程面试级的基础问题被渐进地解得远比已知快，动摇了细粒度复杂性理论「把问题绑在一起」的整个纲领。
- 期刊与佩雷尔曼：数学期刊在 AI 之前已严重超载；庞加莱猜想的验证靠佩雷尔曼跑遍全球做三小时讲解、社群花数年逐页核对。「拿出一个解法只是第一步。」
- Mathlib 与 Lean：从论文变成 pull request，规格说明内置在对象里，「Lean 不让你用错」；那是众包版数学，也是 Mathlib 十年前的梦想——「把数学运作得更像一门科学」。安库尔补充：OpenAI 那批证明之所以可信，部分正是靠 Lean 检查。亚历克斯强调今天的 AI 只会「临时拼装」，不擅长「正典化」，只做得到离 Mathlib 一到两步的事。
- 黑箱给出无法理解的证明怎么办：推理规则与公理都只有那几条，所以「数学唯一可能不可理解的方式，是规模」；安库尔反问「去形式化」会是什么样——理解往往发生在非形式化层面。
- 写作方式会变：亚历克斯用教实分析的例子（先花两周构造实数，第三周它又变回一条数轴）说明「工程」与「讲故事」的冲突；未来论文 = 故事 + 伴随的 Lean 形式化。安库尔收尾：「数学不是定理不断上涨的潮水……当你跟一个好问题搏斗时，它会反过来打你。」
五、黎曼猜想：准 RH 落地那天（1:05:56）
- 现场：纽约国立数学博物馆晚宴，一手威士忌一手刷手机，等美东六点的发布；第二眼就看到准 RH——zeta 函数、所有 Dirichlet 函数、所有零点。「那一瞬间我根本没法计算我看到的是什么。」
- 费马大定理的形式化：一千三百万行。他两天前刚在普林斯顿做完报告，说这套东西「只能做离 Mathlib 一到两步的事」；报告是周三，周五 Anthropic 就掉下了 sorry-free 的一千三百万行。「我在那场报告里说的全都是错的。」参与者两三个人，大部分介入是「继续」（全大写），没有领域专业知识。
- 自动形式化基本被解决，但那不是「漂亮的证明」，要变成 Mathlib 质量还有大量工作——那正是人类想做的、重要的工作。
- 黎曼猜想的图像：质数是乘法理论的基本粒子；zeta 函数是对质数做信号处理，零点对应频率与振幅；RH 断言那支乐队的每件乐器以完全相同的振幅发声。
- 技术量级：素数定理等价于实部为 1 那条线上无零点；七十年来无零点区域只是一直变薄。这次给出的是实部 8/7 到 1 之间整条无限竖带没有零点——「准 RH」；降到 1/2 就是完整 RH。这个方法本身到不了 1/2，第二个证明（12/11）也不行，而准 RH 自己「需要多得多的新想法」。
- 冯·诺伊曼上天堂的剧本（安库尔转述卡米洛·德·莱利斯讲的故事）：上帝说 RH 为真，因为「我知道所有零点都在实部二分之一那条线上」；冯·诺伊曼追问「可你怎么知道」——那不够。亚历克斯的落点：「数学不是那个事实，而是那个为什么。」
- 质数的童年入口：史蒂文说质数之谜就是「加一」与「乘法」两个最基础的想法如何互相作用；亚历克斯讲儿子丢了一块积木、只剩十九个拼不出矩形。
- 成功率约一成：据称提示了数千个问题，只放出正面结果。安库尔担心两件事：最安全的问题可能恰是那种非要有创造性新想法的问题；以及人们会开始对自己的想法保密。「第一进门的」心态该走，开放该留。
六、纳维–斯托克斯：一次反例，两个价格（1:29:49）
- 方程是什么：纳维–斯托克斯只是把流体的动量守恒写成微分方程——在一个体积里写下动量守恒，再让体积取极限到任意小。F=ma 写起来简单，但把房间切成十亿个小盒子、每盒写一个方程，系统就复杂到解不动。
- 被证明的是什么（克雷千禧问题里带光滑外力的那一版）：存在一种编排光滑外力的方式，把方程里各项正好抵消，造出一个只能在三维存在的、极其专门的涡；它在第三维被拉伸变细，像花样滑冰选手收臂加速，能量整体仍有限，但那条细丝上流动爆炸，涡量趋于无穷。二维里没有这种爆炸（二维是反向级联，小涡并成大涡，飓风就是这么来的）；三维级联才是大涡碎成小涡、最终以分子扩散成热。
- 为什么反直觉：所有物理直觉都说黏性（内部摩擦）会把这种加速扩散掉。数学家大约十五年前才开始认为「找反例」是条路。
- 工程师的冷水：「我们解决了一个百万美元的数学问题，还有一个万亿美元的工程问题」——日常的流体模拟与预测，一个月来毫无变化。这个定理运作在非物理的区域。
- 费曼那句话：我们知道怎么写下这些非常一般的方程，却不知道从方程本身能读出哪些现象是可能的。「如果你从没来过地球，你能光凭一个偏微分方程预测日落和潮汐吗？」
- 真正的难题：湍流是多尺度的，所有尺度都重要；气体有温度、压强、密度这少数几个数就够，湍流没有。「有没有一套坐标，让湍流也能被简单描述？」史蒂文认为这既是蛮力（大量数据 + 试各种坐标变换），也是深数学（七十年代聪明人问过、但被算力挡住的问题，今天正是肥地）。坐标变换先于物理突破——牛顿的 F=ma 是在把太阳放到宇宙中心之后才有的。
七、自然如何计算：黏菌、果蝇与「上帝会按谁更努力来裁决」（1:55:45）
- 安库尔问：自然已经能解哪些计算问题？黏菌找最短路径；陶哲轩证明类纳维–斯托克斯方程会爆炸，是因为它们能模拟图灵机。
- 卡马尔·贾恩那句话：「如果我的笔记本找不到它，市场也找不到。」纳什均衡难算，这本身就动摇了「它是解释人怎么博弈的普适机制」。
- 两个极端：地球天气是真正复杂的，所有尺度都重要；果蝇是「存在性证明」——它能在阵风和雨里控制力与力矩，维持前缘涡、失速降落，而它没有流体力学博士学位，也不跑超算，也许只有五六个数对它重要。
- 昆虫的形变敏感神经元：嵌在翅膀上、位置固定，翅膀以某种时间模式弯曲时放电，于是在肩部肌肉里做一次局部计算，反应比「信号传到大脑再回来」更快——用部分信息、在没有方程的情况下稳健纠正。
- 这与「稳健性来自不确定性建模」相通：外野手接球走的是略微弯曲的路线，因为曲线允许不断重新评估。
八、唯一游戏猜想：一夜之间，两条路都被封了（2:04:38）
- 从 SAT 讲起：合取范式公式、可满足性、P vs NP；PCP 定理（九十年代里程碑，上了《纽约时报》头版）说的是「连骗过验证者都是稳健地困难」——只做常数次随机检查就能发现你在撒谎。它奠定了「近似困难性」。
- 唯一游戏猜想是 PCP 定理的加强，关乎某一类标签覆盖实例；如果成立，它会对一大片问题给出「最优近似算法就是那个最简单的」这种组织性结论。
- 伊里特·迪努尔与多·明策证明了更弱的「二对一游戏定理」，那是「一声惊动全领域的枪响」，给出了可行路径——人们曾预计人类再花十到二十年能走到。
- 那一晚：几周前就有传言，多·明策甚至在论文脚注里写「因为传言，我们觉得有必要尽早拿出方法」。晚宴前几小时，安库尔问唯一游戏猜想的提出者苏巴什·霍特：「如果他们放出正向证明，你会读吗？」答案是「不会」。
- 安库尔自己承认曾站在怀疑者一边：拉加文德拉等人的工作意味着它会给太多问题最优近似困难性，「结论太强，不像是真的」。
- 代价：这些定义领域的里程碑问题，很多人一直在伸手，结果一夜之间全部落地，人们可能失去走那条路的热情——「如果给他们空间，我们还会发现什么？」
九、数学家怎么思考：怀尔斯的那张书桌（2:19:32）
- 安库尔引三十年前怀尔斯的纪录片：他坐在书桌前说，「我这一生，再也不会有像那天在这张书桌前经历的那样的时刻了」，说到哽咽。按一个按钮拿到解，你得不到那个。
- 亚历克斯补一句冷冷的算术：到二十世纪前，几乎每篇数学论文都只有一个作者，现在中位数是两个——「我们不是实验室科学，它真的是一个孤独的过程」。他一个月前发表的那篇五作者论文，想了十年；项目开始时他们甚至给不出一个「需要 sorry」的形式化陈述，「陈述是你在凿的过程中发现的」。
- 带学生的方式：安库尔起初给学生的题百分之百在自己领域内，学生一有想法他就能立刻打掉，「谁都不开心」。后来改成给离自己领域十度、二十度的问题，让学生讲给他听——「越早让学生坐在驾驶座上越好」。
- 史蒂文：「我发现一种张力」——极专注攻一个工程问题（戴上遮眼罩），与给自己心智自由四处观察；「很多时候你是在翻开一块石头、用余光看它时找到解的」。
- 关于长线：学生担心 AI 海啸、全民基本收入，只在三个月、六个月的时间尺度上想问题；而真正值得做的是「多年以后你仍然会在意的问题」——「如果你急，是因为你觉得下一代模型必然会解决它，那不如去度假」。
十、数学是被发明还是被发现（2:33:09）
- 亚历克斯的实用主义答案：问题是发明的，答案是发现的。我们今天问的问题不是欧几里得能想到的，希腊、印度、中国各自感兴趣的东西不同；但一旦问题被精确提出，答案就是上帝决定的那个。
- 史蒂文：两者兼有。数学形式化是我们造的，而这些近似有效得不可理喻；「整数」是最好的例子——三块石头是真实的石头数量，而「石块」本身是一堆原子的抽象。「数字真的存在吗？我一直在跟这个问题搏斗。」
- 亚历克斯：人类花了几千年才发现零；负数在西方甚至是在复数被接受之后才被接受。
- 无穷的职业化：微积分是第一次认真处理无穷——把无穷多个无穷小加起来得到有限的数。牛顿被嘲笑写的是「已逝量的鬼魂」，你要把零除以零还得让它说得通。十九世纪柯西与傅里叶证出相互冲突的定理（连续函数的极限是否连续），「他们把数学弄崩了」。
- 安库尔收尾：数学此前已经被杀死过好几次，而那只是划痕；我们一年级博士生课程的大部分，都是十九世纪那些危机之后重建的结果。
十一、P vs NP：最坏情况是一副什么眼镜（2:39:16）
- 安库尔：P vs NP 仍然极难。可满足性问题上我们连超线性下界都没有——「我们连『比读一遍输入更耗时』都证明不了」。
- 最坏情况分析：不问实例结构（子句多大、连接图什么拓扑），对所有可能输入求解。它极其强大（最大流等），但代价是丢掉了结构。
- 秘书问题：先等一段不接收，然后接受第一个比之前所有人都好的。那是「在线算法」：输入顺序未知，要在面纱后做好。
- 分页问题：缓存该淘汰谁？已知紧的上下界，但最好的算法相对离线最优仍差一个很大的因子——「竞争不过你的笔记本现在实际做到的事」。这引出「超越最坏情况分析」：如何把我周围的世界建模得恰到好处，是一门艺术，也是一个反向问题。
- 亚历克斯补刀：因式分解随机大数很容易，一半是偶数；真正难的是两个约等于平方根大小的质数的乘积。
十二、LLM 为什么有效：猫头鹰、通灵板与「自然厌恶难题」（2:49:32）
- 那批七百个证明里，没有任何一个解释深度学习或 LLM——问题不是那样表述的。把四层网络拟合到数据上是密码学意义上困难的问题，可它每天都在被解决：安库尔的说法是「自然厌恶计算上困难的问题」，或说「自然厌恶真空」的他这一版。
- 蛋白质折叠的例子：最坏情况下极难，但自然一直在解——因为演化只让折得好的序列活下来，于是造出了一批「不难」的问题，同时发展出擅长解它们的启发式。
- 所以深度学习理论必须与「更好地建模世界」一起走；「不放弃」是个非常好的主意。
- 潜意识学习：让模型 A 被系统提示「你非常喜欢猫头鹰」，然后让它生成随机数；用这些随机数微调模型 B，B 开始在每次对话里提起猫头鹰。因为概念以线性方式嵌进高维空间，概念数远多于维度，向量无法彼此正交，朝一个方向微调就会对别的方向产生小的外部性。
- 通灵板：按压不是随机的、而是被协调起来时，你能让它拼出任何东西。语言模型也是这样放大数据里的统计关系。
- 史蒂文的两轴：可验证性 × 赌注。错一个证明没人断电（低赌注 + 极可验证）→ 完美的用例；但「我们需要一道防火墙」，界定什么必须被真正验证。
十三、AI 还解不了的问题（3:03:56）
- 问「未来一两年最不可能被解决的是什么」，安库尔的答案仍然是 P vs NP。「一切皆有可能」——如果 P 等于 NP，取决于运行时间有多大；如果大到不实用，那就没那么要紧。
- 他讲自己读研时的往事：有人半认真地试过 P vs NP，博彩市场里他想对「没被解决」下反向的注而不得，只好押了其他所有千禧年问题来对冲。
- 两条线：一是你似乎总能制造出困难的实例（密码学就靠这个）；二是实践中很多问题比我们以为的容易——SAT 求解器在编译器寄存器分配这类问题上有效得惊人，我们并不清楚为什么。
- 他的判断：也许很多被我们按最坏情况建模的问题其实是秘密地容易的，难的是说清它们有什么结构；同时仍然存在一大片困难问题，可以拿来建密码系统。
- 亚历克斯借《安娜·卡列尼娜》开头：「幸福的家庭都是相似的，不幸的家庭各有各的不幸」——很多问题比我们说的容易，但它们容易的原因非常不同，所以也很难有一套统一的分类学。
十四、佩雷尔曼与「数学家的怪」（3:08:27）
- 佩雷尔曼：「如果证明是对的，那我要的就是这份功劳。」他拒领菲尔兹奖，也是唯一拒领克雷百万美元的人。亚历克斯的评价干脆：「数学家是些怪人……我们热爱观点与思想的多样性，我们让他们全都进来。」
- 奖项的社会学：拿奖的人本来就是顶尖学校的终身教授，余生都会做数学；奖项其实是「庆祝这项活动」「说这是我们认为了不起的东西」。而解决重大问题将不再是稀有事件，因此不会像过去那样值钱——「我们正在进入佩雷尔曼的世界」。
- 今年夏天（费城菲尔兹奖）他们已经在问：这是最后一次颁菲尔兹奖吗？
- 半人马数学的现场证词：亚历克斯说他把论文给研究生，一周后学生说「没过第一段」，卡在「由非局部系统的微扰理论」这句；而他会告诉学生：跳过前两段，直接看第三号引理。将来这个「最近发展区」可以由 LLM 直接给出——「如果人们有效地用它，就能真正给教育加超速」。
- 但「学数学仍然很难」：到博士阶段之前，没人要求你产出新理论，一切都是教材里写着的，而学会解那些很多人都能解的问题仍然极其困难。
十五、给年轻人的建议：假装你已经赢了（3:17:45）
- 亚历克斯给博士生：做我们一直在做的事——学你脑子能承受的最难、最抽象的数学，尽可能多学。
- 本科层面出现双峰分布：一边用 AI 检查自己理解（「拿我过去三周的笔记考我」），一边用 AI 直接要答案；作业与考试成绩失去相关性。「做分布的头，不做尾。」
- 史蒂文：智能不等于道德，也不等于价值——「超级智能并不蕴含超级道德」，而超级智能给你的只是超级的「合理化」能力；「教育与智慧是两件不同的事」。
- 学基础：即便电脑线性代数比你强，你也该学线性代数、建立直觉；「保持好奇」，但要小心好奇心被注意力经济偷走——让你好奇的引擎和让你末日刷手机的是同一台。无聊很重要，好奇与专注常常来自无聊。
- 安库尔：假装你已经有终身教职，然后做你一直想做的事（桑吉夫·阿罗拉在他入职时说的）；「你从高中起就可以优化 AP 和课外活动，一路赢，赢了每一关，但那又怎样？」
- 史蒂文补一条职业标准：一份充实的职业＝重要 × 有意思 × 你擅长，三条拿到两条算幸运，三条全拿是余生幸福。
- 莱克斯提醒幸存者偏差；也引泰格马克的平衡：既要足够在系统内、是社群的一部分，也要足够叛逆古怪去铺自己的路。收尾时史蒂文说：「我生命的意义是回家看孩子、去海滩、跟他们扔球——另外那些是上面的樱桃。」
逐句全文翻译
本节基于官方人工逐字稿逐句翻译2，只保留中文译文，按节目原始顺序与说话人轮次排列，不作压缩、摘要或删减。说话人标签中，「莱克斯」为主持人 Lex Fridman，「安库尔」为 Ankur Moitra，「史蒂文」为 Steven L. Brunton，「亚历克斯」为 Alex Kontorovich。
莱克斯：好，那么这可以说是一期紧急节目。我觉得这么说不夸张：讲的是数学与人工智能眼下的状态，是数学史上某种危机时刻。过去这几周里，机器声称解决了数学史上一批最难的问题：纳维–斯托克斯方程、准黎曼猜想、唯一游戏猜想，还有数百个其他结果。今天和我坐在一起的有史蒂文·布伦顿，他是数学家、华盛顿大学的流体力学专家，可以谈纳维–斯托克斯、湍流、一切与流体有关的事，还有很多别的话题。
莱克斯：另外这位是安库尔·莫伊特拉，数学家、理论计算机科学家，在麻省理工学院，今年在普林斯顿高等研究院访问。他可以谈很多事：唯一游戏猜想和整个复杂性理论，还有 AI 究竟是怎么学习的这套数学，以及理论计算机科学的一切。还有亚历克斯，数学家、罗格斯大学的数论学家，他能谈的也非常多，包括黎曼猜想，以及 Lean——自动证明、自动验证、自动检查这些，还有数学里许多别的话题。三位都非常出色。
莱克斯：三个人都很客气，一大早就过来跟我聊，凑成一个人类大脑的多智能体小蜂群，试着解读就在此刻发生的事情。
莱克斯：很多数学家，非常出色的数学家，包括陶哲轩在内，现在都处于一种惊慌状态。这里面混杂着敬畏、恐惧、不安，也有几丝光亮、几丝希望。所以很抱歉，我要用一个关于感受的问题开场：对于这个历史性的时刻，你们各自是什么感受？亚历克斯，你先说？
亚历克斯：我不知道自己会不会把它叫作危机。危机里面有很多机会。它是一个重新思考我们到底想做成什么事的机会，而那是一种机会带来的混乱——有人对它有负面反应，有人有正面反应，有时候同一个人身上两种反应同时发生。所以我认为我们正在进入、或者说已经进入了某种数学知识的黄金时代：在此之前几千年，我们手里只有一根蜡烛，在树林里走，能照到哪儿就看到哪儿。现在我们有一支手电筒了。
莱克斯：我想我们应该为不了解情况的人讲一下这个时刻的分量。也许可以引一句话，大意是「天哪，如果这是人做出来的，那就是一枚现成的菲尔兹奖」。你也许没有说「天哪」，但基本上是在说这是一个不可思议的结果。很多人本来不会预期在这么短的时间里有这么大的进展，所以这确实是令人震惊的。所以你现在是以一个在过去几天里消化了这件事、并且带着这些感受的人的身份在讲话。也许回到你第一次看到那份报告——这次是 OpenAI 发布的——那一刻的感受，也会很有用。
莱克斯：你们两位恰好差不多同一天在镜头前，可能因为是在会议或者聚会上，还喝了几杯。安库尔，你能不能说说你当时的感受？
安库尔：结果落地的那一晚很有意思。其实也不算完全出乎意料，因为在那之前好几周，我所在领域里最大的两个问题就有传言了——这两个问题都在那批结果里，就是唯一游戏猜想和 RL 等于 L。甚至还有关于矩阵乘法的传言。所以我第一反应其实是：「哇，全是真的。谢天谢地终于放出来了，因为现在人们可以真正去读它、消化发生了什么、想清楚下一步该做什么。」至于你之前那个问题，我们在感受什么？对我来说，它每天都在变，但最 overarching（盖过一切）的那种感受，是真的觉得自己被拉向两个完全不同的方向。
安库尔：我的研究一直是关于提出正确的问题。就这一点而言，这些工具对我非常好，因为它们提高了我了解其他领域的能力。那就像身边有一个世界级专家，用你自己的语言教你东西。你建立联系的能力被放大了。但我的工作里我最喜欢的一部分是带人这一块。不只是培养博士生和博士后、看着他们做出伟大的工作，而是让他们和我一起走这些路。所以把我拉向另一个方向的，是我意识到：我们用了那么久的成功剧本和蓝图，现在被扔出窗外了。
安库尔：于是给学生和博士后提建议变得难得多——他们该做什么，才能产生影响、才能立起自己的名声。所以我非常兴奋，但也许在智识上比从前更孤独了一些。部分原因是，很多时候伟大的结果来自提出非常谦逊的问题，至少对我来说是这样。而现在有这么多焦虑、恐惧，觉得你必须做出某种非常了不起的东西，才可能在 AI 结果的汪洋里被看见。于是我们好像失去了那种耐心——那种先埋下种子、再让巨大的橡树长出来的耐心。
莱克斯：菲尔兹奖得主陶哲轩写道：「让我感到恐惧的是，许多人年复一年、耐心而刻意放慢的研究工作——尤其是博士生和博士后的工作——朝着数学里许多有启发性的问题推进，却被这样一次发布随意地打断或摧毁。就像一个人无法把看过的电影剧透、或者填字游戏的答案从脑子里关掉一样，一旦知道已有解，你就无法再那么有收获、那么丰富地去探索一个问题。我为那条没有走的路、为在争相开发这项技术的狂奔中失去的机会而哀悼。」所以，说得现实一点，对一个博士生、一个博士后来说，这比你刚才描述的要戏剧化得多。
莱克斯：你讲得相当平静，但如果我现在是个博士生，我会处在震惊里。就像我的一生……我自己经历过一些这个。我知道我很多朋友是程序员，去年十二月他们经历的就是这种震惊状态：基本上大半个编程世界都切换到由 AI 来写大部分程序了。所以我会把它比作一种意义感的丧失，一种恐惧，一些挺黑暗的东西。我们会继续往下探。史蒂夫，你怎么看？你当时——你现在是什么感受？
史蒂文：我大部分的感受是相当有希望的。我是个工程师，我喜欢解决那些让技术对人更真实的问题：人工心脏、飞机。我们解决真实应用问题的能力会变得好得多。我们能够到的范围和边界会扩大，所以在这件事上我极度乐观。但确实有很多不确定性。我认为这种对意义、对失控、对「被从我们所有人都喜欢参与的过程里裁掉」的恐惧，是有点可怕的。
史蒂文：而且我想我们谁都不会意外，如果未来五到十年里两条路中的任何一条发生：我们真的被另一种智能显得渺小；或者它慢慢进入平台期，变成一个了不起的工具，用来满足我们的好奇心、用来做人类的问题求解。那种不确定性是巨大的。那是两个非常不同的世界。所以不确定性对人来说很难受。对我们这些选择了数学的人来说，我觉得也一样难：我们选数学，很可能是因为我们喜欢规则和形式化，而不确定性让人不舒服。不过我觉得谦逊这一面非常重要。这是一个很好的机会，让我们记起自己为什么在做这件事。
史蒂文：比如，人的目的是什么？不是出名。不是拿菲尔兹奖。解决有意思的问题、帮助别人、保持好奇、只是想理解这个世界——这些才是真正好的东西，值得找回来。我们到底需要什么，才能成为满足的人？我觉得这是一个非常有意思的时刻，值得我们去想。我最近一直在想。对年轻人来说确实更难，找到自己的路这件事更难。但我其实对他们比对我们更有信心，某种意义上。
莱克斯：特里（陶哲轩）说，当一个问题的答案已经知道了，去探索那个空间就变得更难有动力——你觉得这话有道理吗？一个 AI 系统这样解决掉一个问题之后。
史蒂文：也是也不是。我非常同意，路和终点一样重要。就像你去自驾游，路上那段通常和到达一样好玩。但同时，如果我们发现另一个国家发明了传送术或者时间旅行，我保证我们五年之内会把它重新发明出来。如果你知道它是可能的，而且你能逆向工程出一小部分，我们就会好奇，就会一头扎进去，就会把它搞明白。所以知道有解，本身也是一个不可思议的动力，让我们更快到达。
莱克斯：我换个方式问。如果这个时刻标志着一条轨迹上的某一点——AI 基本上打了个引号，「解决了数学」，或者「杀死了数学」——你能不能论证这确实是一条轨迹？然后再论证这并不构成一条轨迹？两条路你都能给出最强版本吗？一边是：通往我们所熟悉的数学被彻底做完，从此这件事由机器来做，而人做的是某种根本不同的东西；另一边是：仍然会有某种看起来很像我们今天数学的东西。两种情况你都能替它们做最强辩护吗？亚历克斯。
亚历克斯：好，你说了两件事，我想把它们分开：一件是「解决数学」，另一件是「摧毁数学」。我们把话说精确一点。「解决数学」是什么意思？你想一想国际象棋引擎刚出来的时候，人们说：「哦这太棒了，我们要下半人马棋。」就是一个人加一套计算机系统，对另一个人加一套计算机系统。这种局面大概持续了十秒钟，然后计算机变得太强了：除了照着它推荐的第一选招走，你走别的基本就输。
亚历克斯：于是人类在这个游戏里的角色变成了：「好，我接受第一步。好，我接受第一步。」那已经不好玩了，如今我们很少看到半人马棋的对局了，对吧？所以我最近和一位叫托马斯·戈伯塔的同事聊，我们把对未来的论证做成了公理化的形式，其中有一条公理，我愿意为了讨论方便而接受，我叫它「已解公理」。已解公理是说：假设在某个未来的时刻——我们现在离那儿还很远，我也不认为我们必然会到那儿；我们看看能力会不会、以及在哪里进入平台期。
亚历克斯：但让我们假设已解公理成立：任何可以由人跟 AI 互动解决出来的数学问题，本来也可以由 AI 单独解决。这就是已解公理。那么它的意思是，对人类来说其实没什么新的可以贡献了——你可以对一个 AI 系统说：「好，我有问题 X，我想思考问题 X」，但我唯一能取得进展的方式，就是按一个按钮。AI 去思考它。它不一定会解决，也不代表它能解决所有问题。黎曼猜想并没有被解决，好吧？那正是我最想看到被解决的。我只是没想到有生之年能看到几天前我们看到的这种进展。
亚历克斯：所以并不是说 AI 系统在解决每一个问题。它们在解决每一个「本来可以由人与 AI 互动解决」的问题——这就是那条公理的意思。所以我说的是：如果我们真的进入了那个世界，那是否必然摧毁数学？我的强烈论证是：不会，我不认为它会摧毁数学。
莱克斯：如果那条公理成立，人的角色是什么？
亚历克斯：我不认为数学——纯数学，不是工程数学，不是那些能治好癌症、能解决……人人都有飞行背包之类你可能想象的技术进步的东西——纯数学，我们证明定理是因为我们对它们好奇。定理活在数据中心的 0 和 1 里，我不认为这对人类有价值。我认为纯数学的价值在于它活在人的头脑里。
安库尔：我补充一点。我很高兴你直接把所有人心里那个问题问出来了，谢谢你。我要提醒的是，不要对这一件事过度拟合单一的目标函数。
安库尔：因为我们过去把自己当作周围最聪明的东西。人类数学家可以爬，可以爬到最高的树梢。但现在我们面对的事实是：很多我们以为还相当遥远的问题，被 AI 解决了。不过也许我们可以从中得到一点安慰：跟 AI 解决它的方式相比，我们在计算上是非常受限的。同样一条终点线、同样一个定理，我脑子里同时能装下的论文和想法就那么几个。
安库尔：所以为了到达同一条终点线，我可能必须发展出更可推广、更可抽象的走法；而这些走法不只帮你解决那一个问题，还帮你解释联系、指向你想进入的其他方向。所以回头看自己写过的论文时，你会看到一些线，有时是看不见的线，把不同的工作领域连起来，那种感觉总是很妙。因为建立一套理解问题的体系，帮到的是周围一整片问题，而不只是把一个瘦的、形式化的定理做下来。
莱克斯：但有意思的是，那些线——你说有时候是看不见的——对现在的 AI 系统来说相当可见。看起来这也许正是它们能取得这么大进展的真正原因：它们能把这些线抽出来、顺着拉，因为它们看得到那么多论文。
安库尔：我觉得这取决于你说的「线」是什么意思。对我来说，你证明结果，是为了更好地理解你周围的世界。数学在我看来是抽象和理解的载体。当你有一个重大结果时，重要的不只是这个陈述为真，而是你一路走来学到了什么。通常人们的第一个问题是：「好，你证明了一件了不起的事，但你是怎么做到的？」而当人们消化了那个新想法、新定义、新的看事情的方式之后，附近还有很多其他问题会跟着倒下来。所以你在建的是一套结构，它帮你攻下的不是一个问题，而是一整片问题。
安库尔：而且我们不需要完全形式化的结果才能做到这一点。有时我们就是用非常马虎的比喻来推理，而那些比喻帮我们把周围的世界概念化。
莱克斯：这件事里有多大成分，是亚历克斯线下提到的那句「注意力就是你所需要的一切」？有多大成分是人类有能力把光打在某个「重要」的地方——就是人类提出正确问题、重要问题的能力？
亚历克斯：这一直都是这样。在 AI 之前就有——你可以这么想：这里是公理，从公理抽象地推下去，你就得到逻辑演绎，对吧？有一些定理我们可以从公理证明出来。而我们可以证明的定理空间，比人类真正在意过的那个空间要大得多、多得多、多得多。所以几乎按定义，这是个同义反复：让我们兴奋的定理，就是作为人类我们在意的那些定理。所以也许 AI 能说服我们，说这里存在某种有趣的结构；也许它可以说：「嘿，看这边，我给你这个新定义之类的。」这一点它到目前为止还没做到。
莱克斯：而我们挑选「我们在意什么」的机制，有时候会有应用。纳维–斯托克斯连到流体、连到所有自然系统。但它也可能只是某种美与难度的混合体，就是会拉扯我们。也许背后是一种直觉。比如素数里充满了这些非常复杂的问题，它们也许没有直接意义上的明显应用，但不知怎么就拉扯着我们。而也许，作为追求困难事物的副作用，伟大的应用数学、工程、对现实问题的解答就跟着出来了。
安库尔：举个例。很多时候我做一个问题，我可能有个更大的目标想完成，但我通常做的是：找出那个最简单、最让人不好意思的未解问题——那种「天啊，这个我们怎么会不知道」的问题。那感觉是在正确的路上，因为当我们能解掉那个例子，也许我们就凑齐了攻其他问题所需要的工具。所以我确实认为，我们得变得更有意识地思考：我们到底在意什么？从元认知的角度，我们该怎么用这些工具？我们究竟把什么交给它们、把什么不交给它们？
安库尔：我们真的还在非常早期的阶段，一边走一边把它拼起来。一方面，找证明有点像探索一棵可能性之树。你基于见过的其他证明会有一些直觉，知道该往哪个方向走：也许该走这个分支，也许该走那个分支。但有时候我们会遇到树上那些分支因子非常高的点，我们就是不知道该往哪边走，甚至猜不出走下去会发现什么。而在这个半人马的数学世界里，我们突然有了另一个智能体，可以跟它互动，对吧？
安库尔：那么，用这个工具去搜寻美丽的理论，正确的方式是什么？我认为这既困难又不断演化。但重要的是不要忘记：我们在意的不只是定理。我是数学家，也是理论计算机科学家，但我最近也读得宽了一些，比如读社会学，好让自己跟所有这些变化和解。有一件事我很喜欢，一直记着，叫「门童谬误」，非常有意思。它的意思是：你把一份复杂的工作压缩成它最简单、最可见的那项任务。门童做什么？我猜就是在人们进出的时候替他们扶门，对吧？
安库尔：我们住在纽约的时候，特别喜欢跟我们的门童聊天。他们都是很好的人。但如果你把这份工作压缩成那项简单任务，你可能会想：「哦，我可以用一扇感应门替掉他。」于是你就错过了这份工作里所有那些增加了很多价值、却更难说清楚的部分。我觉得这也是思考 AI 时代数学的一个好方法。数学家做什么？这份工作里最简单、最可见的部分，是我们证明定理。而关于开放了几百年的猜想——比如费马大定理——的定理，是非常可见的东西，我们花了很多时间去普及它们。
安库尔：但我不认为这就是数学家做的全部。我愿意这样想：数学家是那种深度思考的人，而深度思考的副产品是证明旧的猜想；但它同样是建立新理论、建立看待旧事物的新方式、建立新的概念联系。这些部分，也许 AI 将来也会吞掉，但在这一刻我们还没到那儿。所以尽管这是一个重大的时刻，我不认为现在是按下恐慌按钮的时候。
安库尔：我认为现在应该做的，是重新回到我们的价值上，把这个领域该有的对话开起来，记住我们做的事其实有多种不同的审美和目标；并且，当一件事变便宜了——比如对定义良好的问题求解——那些与它正交的其他事情，就变得更有价值得多。
莱克斯：这真的很美。「门童谬误」——我查一下 Perplexity——是把一个人的工作缩减为它最显眼的那项任务，并假定把这项任务自动化就等于替代了整个角色的价值。一家酒店决定：「我们花钱请人开门，自动门更便宜。」但事实上，门童还会迎接客人、认出回头客、搬行李、叫出租车、提供安全感、挡掉不受欢迎的人，并且标示出档次、让客人感到被照顾。
安库尔：那是我最喜欢的一段。我查了门童做什么，天啊，我们跟数学家有很多共同点。如果我不标示品牌价值，我都不知道自己在干什么。
莱克斯：就是。这很好笑。不过我认为，对我们人类总体来说、对数学家来说，任务是把那张清单列出来——就是把人类做的到底是什么讲得更明确。而你们几位都还没提到美。如果我前面已经过多地提到美，我道歉。但从我这种外行粉丝的视角看，数学家某种程度上是美的阐释者、美的学者，美作宽泛的理解。
亚历克斯：完全正确。直到五秒钟之前，「证明新的深刻定理的能力」和「作为人类数学家我们真正想要的东西」之间几乎是完美相关的。而我们想要的正是你说的：美、理解、思想的深度。而事实是：你按一个按钮，就能毫无努力、毫无深度思考、也不必然带着任何知识地拿到过去用来代表它的那个代理指标。就像现在有人说：「搞个突破。」然后把找到的东西往推特上一放。那数学家该怎么办？
史蒂文：我还要往后退一步：比回答问题、比解题更靠前的，是提出正确的问题。所以我认为衡量好的问题求解，就是看你能不能提出正确的子问题——提出一个有意思的、可解的、可解释的问题。所以我觉得，提出好问题的价值一直是我们看重同事的地方，而它会变得越来越有价值。
安库尔：我完全同意。而且我想强调一个藏在里面、没被说出来的点：提出正确的问题需要大量的数学洞察。
亚历克斯：嗯，绝对是这样。
安库尔：所以你会看到人们一直在说：「以后我们看重什么？看重提出正确的问题，看重讲得好的报告。」但我不想贬低——我不是说你在贬低，我只是想把它说明白——我不想贬低这两件事里数学洞察的作用。因为当我说报告会变得更重要时，我脑子里想的不是我们都变成推特网红和抖音上的什么号。
亚历克斯：希望不是。
安库尔：希望不是。因为真正凸显出来的，是你的想法被你这个社群采纳，并且随时间变得强大。所以我想把它接回莱克斯前面提到的一点：他问，我是不是太乐观了？大概是，跟研究生看这件事的方式比起来。但我近期最担心的事情之一，是我们的体系和机构会发生什么。不只是招聘、终身教职这些，而是：当一个研究生开始读博，他是这个领域的新进入者。
安库尔：他要把这个领域的技术吸收进来，要知道哪些是重要问题，还要想清楚怎么给自己立起名声。我们过去做的，是给他们一份非常容易跟随的蓝图：拿一个人们在意的问题，把它改进；然后人们就会知道你是谁。你会在顶级会议上拿到论文，门会为你打开。但现在我认为那份蓝图在很多方面都变了，因为眼下发生的事情太多、结果太多，我们所有人都在被它淹没。我认为花点时间重新想这份蓝图是可以的。
安库尔：我们在意的仍然是同样的东西，比如能影响你这个社群的想法；只是这些想法更难被操作化成一个可以发给他们的简单评分表。所以我仍然乐观，我只是认为这需要把我们的很多体系和机构重新改造一遍才能做到。
亚历克斯：顺便说，抱歉，回到你那个点：我其实不相信已解公理。我不认为我们到了那一步。我可以证明一个定理，但我不明白这个证明为什么成立。这里发生了某种魔法，而直到我把这个现象推广开来、理解得更深，我才会看出这个证明为什么是这样起作用的。也许这也是我不相信已解公理的原因之一：我们做的事要探索性得多，而什么算一个好问题，也远不是「这是黎曼猜想，去做点进展」这么简单。
史蒂文：我觉得你也提到了一个非常重要的点：概念的普遍性和推广。跟数学之美相关的，我认为一条黄金标准一直是：你的结果能有多简单，以及它能推广多远。在可以证明的无穷多定理里，找到某种既简单又能推广的结构，我认为那仍然是黄金标准。而且如果我没弄错的话，提出问题的人还是人类。比如我们用 AI 证明了纳维–斯托克斯解的存在唯一性，但这是人类在引导。提问的还是人类。而我很想看到下一次突破，如果你有一台能证明你提出的任何定理的机器。
史蒂文：我想让它开始告诉我：我该问什么问题。
亚历克斯：你觉得那台机器有没有可能只是跑一个 for 循环，然后把所有既简单又可推广的东西都找出来——基本上把所有 E 等于 mc 平方都找出来？
史蒂文：这今天就在发生。确实有一些研究项目在系统地、自动地发现某种最小物理定律。这不太算数学定理，更像是物理里的支配定律和方程。
亚历克斯：就是观测自然系统，然后试着在这些自然系统里看——是否存在简单的物理定律可以刻画它们的行为。
史蒂文：对，把它蒸馏到最基本的层面。这样你可以重演已知的理论：看球往下落，你可以推出引力、推出 F 等于 ma；看流体，你可以推出纳维–斯托克斯。而把这件事推到数据上，我们还没写出简单的方程——天气、湍流、太阳耀斑，这一类。我猜数学里也在发生类似的事：那里大概也存在这些可以被推出来的最小片段。
亚历克斯：你觉得数学里存在一大片简单又可推广、可以被自动发现的东西吗？
史蒂文：我的已解公理版本是这样的：凡是我作为人类数学家做的事，我都试过好几次坐下来对自己说「好，LLM 永远做不了我做的这件事」。然后我就想：为什么不能呢？我可以提一个问题，它也可以——我可以问它一个问题。我可以问它「我该问什么问题」。
史蒂文：对吧？因为它是一个如此通用的系统。我不是说它现在把这些都做得很好。但我这一版的已解公理是：凡是我作为人能贡献的，它本来也可以自己贡献出来。所以我真正想说的是价值问题：我给这个社群带来什么？不能只是「我提了一个好问题」。在这个已解公理的世界里——再说一遍，我不相信那个世界——即便在那种世界里，也应该有别的什么，而不只是「我提了一个好问题、我证明了一个好定理」。即便在那种世界里，我认为仍然需要数学家，需要具有人类数学专长的人。
亚历克斯：安库尔，你信已解公理吗？在「我们多接近它」这个谱上你在哪儿？在那个谱上，你认为人的角色是什么？
安库尔：我想我并不真的相信已解公理。也许它在某些方面有一半是对的，而弄清哪一半是真的，会非常有意思也非常有挑战。所以我认为还会有重大意外，AI 能解决的东西还会有更多。但对我来说，当你面对一项非常非常好的新技术时，危险在于：当你试图概念化它为什么有效时，你是在用拟人化的方式去理解它。这里早期的教训之一来自深度学习。有一些惊人的例子：你拿神经网络，可以做到人类水平甚至更好的物体识别。
安库尔：但总体而言，它成功的方式没有人类那么稳健，因为有对抗样本这种东西：你可以往自然图像上加非常细微的图案，就能彻底骗过这些物体检测系统，而人不会。我在 MIT 有位前同事亚历克斯·马德里做过一些我很喜欢的工作，标题大概是《对抗样本是特征，不是缺陷》。他们做了一个很酷的实验：你拿一堆自然数据，比如猫和狗的照片，训练一个深度网络把它们识别得很好；然后你加一些对抗扰动，让 AI 系统眼里猫变得像狗、狗变得像猫。
安库尔：就是一小块改变物体检测器行为的图案。接着你造一个完全假的数据集：猫的图片上叠着狗的图案，标成狗；反过来标成猫。神奇的是，当你用这些全错的标签训练一个深度网络，它会学到在自然数据上表现很好的东西。所以某种程度上，我们认出猫和狗，是靠我们能说清楚的方式：腿、尾巴、整体形状。
安库尔：但很多时候，深度网络或 AI 做事，可能会找到某种暗门或后门来解题，用的是数据里大量人类不用的统计关系。所以对我来说，重要的是不要把「你能做什么」和「AI 不能做什么」这条边界画得太锋利，因为你会画错。但这不代表我不相信最终会浮现某种边界，哪怕只因为我认为我们对它们解题方式的理解过度拟人化了。而当我去读 OpenAI 的那些解答时，它们看起来就是不像人类解出来的。
安库尔：所以在我看来，仍然存在非常大的质的不同，而那其实是一个合作、半人马数学的机会，而不是对 AI 霸主的恐惧。不过谁知道呢？也许下周我就错了。
莱克斯：你的直觉是：这里面有多少只是 AI 把几千篇零散的论文串起来、顺着线拉——抱歉又把这个比喻拿回来——把不同论文里的线拉出来，基本上把已经在那里的证明说清楚、做一点小的连接？还是它真的在发展新的数学想法？你有没有看到那种天才式的、类似 AlphaZero 在围棋里下出的那一手的微光？
亚历克斯：有，第三十七手。
莱克斯：第三十七手。
亚历克斯：我没有读完他们那七百篇论文。就我看过的那几篇：有些人很不屑地说「哦，那都在凸包里面」。你做人已知的那些走法，把它们做得非常好，做一次非常好的树搜索。我不会把它叫作凸包。我认为蒂姆·高尔斯有一个很好的说法：把它叫作「由这些东西生成的半群」。是，它同样是把已知走法组合起来，但已知走法所能达成的空间，比那种带贬义的凸包要大得多得多。
亚历克斯：所以就准黎曼猜想来说，它走的那些招法全都是人类已知的东西，而且是一条非常长的连锁，你看的时候会惊叹：「天啊，这太美了。你怎么会想到——你怎么会……」当然我是在拟人化它。「你怎么会想到在这一招之后走那一招，再之后走那一招？」然后，就成了。
莱克斯：你能不能向更广泛的听众说清楚这个直觉：半群和凸包之间那条线，带贬义的凸包，还有准黎曼猜想——当然就是准黎曼猜想，那批重大证明之一。
亚历克斯：好，我这样试试。你想象一个气球。气球内部就是它的凸包。数学家想出过所有这些想法、所有这些结果，而里面任何一点都是它们的某种线性组合。但它感觉是紧的：好像有一个封闭的、被围起来的区域，而在这个区域里，AI 并没有真的做出新进展，因为它没有把气球往外推。它还没给我们一个新想法。
莱克斯：而说它带贬义，是因为那个直觉是：这本来我们也能做，数学家本来也能做出来，因为它已经相当显然了，已经落在被思考过、被发展过的那个空间里面了。
亚历克斯：对。所以它读了每一篇论文。这正是安库尔刚才说的。它读了每一篇论文，把这一切内化了。那比任何人类大脑能装下的都多，而且人类连读、学、内化的时间都没有。所以在广度上，是的，它胜过任何人类。然后深度上：它真的产生了一个真正新的想法吗？你可以论证，至少就准黎曼猜想这个例子来说，我不会说那是一个真正新的想法。它是很多非常著名的东西的美丽组合。
亚历克斯：有很多人现在在捶胸顿足，因为他们二十年前就有过那个方向的想法。两年前，三次 theta 函数和三次高斯和上有过一次重大突破，而那最终成了 AI 走向解法的路径。但拿它跟半群对比：我把半群想成瓷砖。你在棋盘上下瓷砖，规则是每当你有一块瓷砖，你可以在它的左边、右边、前面、后面再放一块。然后你就可以开始铺，这就是半群作用。问题是：你能铺到多远？你可以铺到——我不知道，你知道的。
亚历克斯：用已有的想法，你真的可以走非常非常远，可能证出比我们人类能探索的多得多的东西。
莱克斯：所以你的直觉更偏半群那个方向，也就是说，至少有一些扩展的微光，而不是凸包内部的线性组合。
亚历克斯：我们选择怎么解读它在做的事，我认为取决于我们自己。但在整个数学史上，总有一些看起来非常困难、非常深刻的问题，然后有人拿出一个三页的解法，非常初等，本来可以讲给本科生听，而且本来可以在问题被提出二十年前就被发现。如果它二十年前被发现，那它今天就是某本教材里的习题。因为那个解法没被发现，而真正聪明的人在上面工作了很久、做出了渐进进展、把这个问题做得很出名，等到它真被解决的时候，就是一件大事。这种事在数学里时不时发生。
亚历克斯：一年前我写东西的时候说过——今年夏天有国际数学家大会，他们要我在十个月前交会议文集。我就想：「关于数学和 AI，我现在写什么，十个月后还仍然成立？」我觉得那里写的东西某种程度上是常青的。我今天仍然认我写的那些。其中我写到的一点正是：我们会发现，一大片我们以为现有技术触及不到的问题，其实现有技术能触及，只要你能用恰好的方式把它们拼起来，而这正是 AI 擅长的事。
亚历克斯：同样，有人可以把它解读成「哦，所以那些解法都在凸包里面」。你愿意这么叫也行。我认为那不算错。
安库尔：我喜欢这些比喻，包括气球。气球的关键在于内部与外部之间的那条边界，而它之所以带贬义，是因为你似乎没有改变那条边界。但这些确实改变了那条边界。也许更具体地说：在 OpenAI 那批问题落下之后，人们要去做的那类事情，永远地变了。那里面至少有几个结果是改换领域的：它们会改变你交给年轻研究者的是什么问题、你想探索哪些领域，因为你对整个地形的理解已经不一样了。
莱克斯：所以不只是因为它扩张了，而是因为这次扩张本身改变了那些有趣问题的方向。
安库尔：对。事实上，最能说明它对人产生了什么效果的一个问题，可能并不是来自 OpenAI 那批，而是 Anthropic 的一个结果，由我同事维尔吉·瓦西列夫斯卡·威廉姆斯和乔什·阿尔曼写出来。那是关于 3SUM 问题的。我要说，它在那里对所谓的细粒度复杂性理论有重大影响，因为有一个大意外：一个非常基础的问题——你会在编程面试里给人的那种——其实可以被渐进地解得比任何人已知的解法快得多，而这跟整个社群的押注相反。
安库尔：事实上，有一整套理论是围绕这个想法建起来的：如果这个问题真的那么难，那么所有其他问题就继承了它的难度。现在，因为这个问题比我们想的容易、有了稍微更好的算法，是的，这在整个地形上给了你很多新算法；但它也改变了这个领域的性质，因为那里原本的目标是把所有这些问题的难度绑在一起、说我们应该把它们放在一起研究。现在，我们某种程度上又回到了「也许正确的做法终究还是分开研究」的状态。
安库尔：所以我认为这些例子说明：无论我们从中得到多少深刻可推广的新想法，哪怕只是知道定理为真，也会改变那个领域的人组织研究的方式。而且对其中一些问题来说，精灵已经放回不了瓶子里了。
亚历克斯：我是说，想象一下那七百个里面有一个是多项式时间因式分解。那绝对会改变一切。所有人都知道：你再也不能在亚马逊上用信用卡了。电商全没了，所有安全通信都没了，就那么快。
莱克斯：你能解释一下什么叫多项式时间因式分解吗？
亚历克斯：好。如果你给我两个非常大的数，各有一百万位，我可以把它们乘起来，一眨眼就完成。如果你要我倒过来：你取两个大质数，把它们乘起来，把这个乘积给我，然后问我「算出是哪两个数」——就是因式分解。我们在学校里不是让孩子学因式分解吗？那是个谎。我们并不知道怎么因式分解。而我们不知道怎么做，正是为什么我们有能力、有办法用各种各样安全的方式彼此通信。所以整个现代世界，基本都依赖这一点：我们没有算法能把一个大数里的质因数拔出来。
安库尔：很多电商都依赖它，因为那是公钥加密里很多方案的基础。但众所周知，因式分解存在量子算法，所以这些天人们也很强调为密码学寻找抗量子的基础。
亚历克斯：对，格基方法之类。我们已经开始担心，当量子计算机大到那个程度时会发生什么；不过离量子计算机真的让这构成实际问题，我们还有一点时间。并没有理论上的理由……我是说，好吧，因式分解大概不是 NP 难的；但比如说证明 P 不等于 NP。也许那不会——那显然会很了不起，但那不会……如果证明了 P 等于 NP，那就彻底——
安库尔：那会非常有意思。
亚历克斯：那会非常有意思。
安库尔：我肯定会在复杂性理论的语境里更宽地谈这个，但想必 OpenAI 或任何别的公司都不会随随便便就把那个结果丢出来。
亚历克斯：那种东西应该走……对，走政府和——
安库尔：有些数学结果显然会对世界产生戏剧性影响。另一些结果可能要花几个月消化，但那个会——是，会影响整个国家的经济系统，所以。
史蒂文：NSA 雇了多少数学家？
亚历克斯：几千人。
史蒂文：几千人，大概就这个量级。我一直做这种思想实验：他们手里可能有什么我们根本不知道的东西？这是十年前的事了：有证据显示，合作型的数学家团队如果按正确的方式拆解问题，能解决比任何单个数学家难得多的困难问题。所以我不知道。你介意我把——
史蒂文：……把气球再讲一下吗？因为我其实更喜欢半群这个类比，而不是凸包。但我不认为它应该被解读成带贬义，哪怕真的只是这些机器在插值人类知识而不是外推。因为即便存在这个由人类发明的碎片拼起来的凸包，我们拼得也不够快，或者里面有大量不透明的地方，而且这个气球是不透明的。
史蒂文：所以即便你只是把这个凸包变得透明得多，像拨开雾、给数学家一部雷达，让他们看到地平线之外有什么，那也已经很了不起，我不认为那件事应该被解读成贬义。不过我认为它比那更外推一些。
安库尔：对，我们应该说明一下：凸包的大小，其实我们并不知道它有多大。
史蒂文：这正是重点之一：我们不知道它有多大，我们不知道什么和什么挨着。我们已知的东西周围全是雾。把雾拨开，那很令人兴奋。
亚历克斯：但人类确实会造新的定义，引入新的概念，而那从根本感觉上不同于把已有的想法组合起来、重新打包。当人类那么做的时候，而他们时不时会那么做——那真的感觉像：好，有了一个新的边界点，那么它的凸包是什么？你能证明的东西的凸包是什么？所以就像你可以拿这个气球，有些办法可以拉它——
史蒂文：而且我们知道它什么时候变大。不知怎么的，我们对它什么时候在变大有一种直觉，你能认出那个。
安库尔：在很多方面，研究者这个形象的原型也会因为这项新技术而改变。回头看历史，我总是惊讶：数学里那么多非常不同的领域，其实是从相似的想法里长出来的。很多这类联系在早期驱动了发展，但随着时间推移，它们变得更专门化了。我认为我们训练研究生的方式，肯定需要确保他们不要以同样的方式过度专门化。我不知道未来的招聘会是什么样，我不知道未来的期刊会是什么样。但我认为，那些对更大一片数学做宽泛思考的人，会处在最有利的位置去从这些技术中获益。
安库尔：这是我的猜测。我能不能问一个听起来几乎有点傻的问题？几十年来研究里很大一部分是论文。如果你猜未来这些年，这会怎么改变一个人类贡献想法的方式、也许合作的方式、一群人把想法贡献到公共空间的方式？
史蒂文：纯数学我不知道，但在工程和一些应用科学里，我们对「什么是学术贡献」的看法已经在快速变化。如果你写的是更大基础设施里的一部分代码，可复用、支撑更大的项目——想想 LIGO，或者那些十亿美元级的天文项目，或者需要几百人、巨大资源的癌症研究项目——那就不必然是一份十五页的 PDF。里面有很多不同的部件：代码、数据、可复用的碎片，能被装进一个更大的框架。
史蒂文：在我看来，跟 AI 一起这件事显然更相关：有一小块可用的部件、一个小工具、一个 API、一个代码库或者一个数据集，能被社群或者被 AI 利用，那越来越有价值，甚至超过一个结果、一篇论文。至于这在纯数学里长什么样，我不知道。
安库尔：你能不能谈谈你怎么看这一切在变？哪怕只是观察 arXiv 那种疯狂的演化——它某种程度上跟 GitHub 上发生的事很像。开源运动里很多人真的在苦苦思考该怎么办，有人预测 GitHub 会死。
亚历克斯：为什么？只是因为加到 GitHub 上的代码多到它撑不住这个增长？
安库尔：让开源运动成功的因素之一是：每个仓库其实由一个人或者少数几个人真正在管，这些人类，他们——
莱克斯：心理上、以及很多层面上，正在被所有的 pull request 淹没。于是变得没法管理，他们被耗尽，于是有了这么一种整体的情绪。开源运动也许跟学术环境类似，它要求人是有动力的。如果你像陶哲轩提到的那些想法所说的那样被磨到筋疲力尽，你就退出了。那是一种你想避免的失败模式。
亚历克斯：数学期刊在 AI 之前就已经处在非常非常严重的压力之下，跟 AI 毫无关系：只是有更多人在生产更多知识，投给期刊，期刊得审，审稿人筋疲力尽，还被要求非常努力地去理解这些定理、检查它们。我认为唯一比那套系统更糟的事，就是没有那套系统。
亚历克斯：因为我们的数学认识论——我们抵达真理的方式——是刻意缓慢、谨慎、精确的。回到佩雷尔曼对庞加莱猜想的解法。他把那几篇论文放到 arXiv 上，然后全世界的人都震惊了，于是他们请他去讲。他去了石溪，去了纽约大学，去了普林斯顿。
亚历克斯：他跑遍全国、跑遍世界，做三小时长的即兴讲解：也许一个小时是他讲自己在做什么，接下来两个小时是有人说：「第二百四十七页、第四百一十二号引理，我不明白你这步是怎么做的。」然后他走到黑板前，给他们做半小时的讲解，讲他是怎么做的。所以整个东西活在他脑子里。他已经尽了最大努力把它写在纸上，然后轮到我们——这个社群——非常仔细地、以细致而精确的方式重走一遍，最后同意：是的，这是庞加莱猜想的一个真证明。那花了好几年，和大量的人力。
亚历克斯：所以拿出一个解法只是这个过程的头一步，而那个过程必须是缓慢刻意的，必须由社群驱动。这就是期刊系统试图达到的东西。
史蒂文：你这一点很有意思，它凸显了纯数学家那种传统形象：一个孤独的天才，解决某个单独的问题，然后去向世界解释它。在很多别的领域，我们已经过了个人无法推进的阶段——电路设计、飞机设计、蛋白质折叠，或者天文学——我们必须在这类十亿美元级的协作项目里一起工作。再说一遍，我是工程师，所以我会想：当一个社群正经历这种组织与个体性的危机、正走向更集体的模式时，领导力显然是它需要的东西。
史蒂文：这很有意思，因为我认识那么多数学家，从组织方式上说，这是一群非常独立的人：不喜欢被指挥做什么，不喜欢被告知该研究什么，天性上非常独立。我们喜欢独处，喜欢一个人工作。这正是我们在这上面花那么多时间的原因。
安库尔：我觉得这一点非常好。有意思的是，哪怕只是看数学和物理工作方式的差别——想想——
安库尔：……比如大型强子对撞机。我想在这些事上采取一个逆向的看法：绝不要浪费一场好的危机。我同意期刊超载了、会议超载了。一直让我震动的是：我们做了那么多工作去审这些东西、处理这些东西，而现在我们面对的任务是：得有人去审所有这些 AI 生成的论文。其中一些很重要，但要让你的社群愿意去做这件事，真的很难。我真的——我不知道会发生什么，但我会非常赞成为了找到新的模式：不是替换旧的，而是缓解已经出现的那些压力。
安库尔：所以我很想看到这样的模式：也许我们用更协作的方式去验证这些 AI 证明中的一部分，对吧？比如 OpenAI 放出来的一些结果，关于快速傅里叶变换的改进。推特上有一串串的人在改进那个常数。我真不知道该怎么看这件事。我连推特都不用。在我看来，我们需要找出别的运作方式：既组织清楚「这些改进现在处在什么状态」，也想清楚我们怎么组织和驯服这些想法。
安库尔：所以很扎眼的是：我们对出版物的想法是，你努力写你的稿子，贴到 arXiv 上，那就是你的稿子。你也许某个时候更新、出第二版、第三版，但稿子属于你。并不是让社群来加批注：「嘿，我觉得你可以换个方式做这个论证。嘿，我觉得这样能简化。」但也许有些类别的东西，我们需要别的模式，让理解可以通过众包演化。我会全力支持。另一件事是，我很喜欢做研究报告。
安库尔：做研究报告我最喜欢的部分之一是：你可以把论文里所有那些杂乱的复杂性拿掉——那些你知道必须把 i 加点、把 t 加横的地方，但那并不是真正让你兴奋的东西。真正有某个关键想法，还有某个特例，那个特例真正说明了这个想法为什么强大。
安库尔：那才是你真正想向人解释的部分。因为当有人问我第五十七号引理，我根本不记得它，对吧？也许「一篇论文就是一个整体、是为了被写下来并完全形式化而设计的」这个想法——现在，对于一些技术性构件，我们某种程度上可以相信 Lean 形式化，而那可以让我们从头改写我们写作的方式，把更多重心放在这些想法的传播上。
亚历克斯：Mathlib 的模式正是你说的那样：不是一篇论文，而是一个 PR、一个 pull request。维护者和评审会过一遍这个 pull request，东一句西一句地提建议。期刊里审稿人也会提建议——你可以改进这个那个——但那不是公开的过程。在 GitHub 这样开放的场所，你能确切看到是谁贡献了哪个想法，让一个论证变简单；或者你在复用……你在重新发明这个库里已经有的东西，你应该直接引用它，把这部分重构成什么样。所以，用形式化方式工作的 Mathlib，第一次让人可以——
亚历克斯：数学的问题之一是：对我们的定理、我们的技术引理，我们没有一份写得完美清晰的规格说明。如果你随机打开一本数学书的某一页读一个引理，里面有大量上下文，以至于作者——因为要把每一点上下文都填进去太烦了——就假定你读了前面六十页，现在我只告诉你这个引理里的下一步。但那样当你试图……那意味着你不能像搭火箭时拿起一个实体零件那样，把它直接从货架上取下来用。
亚历克斯：所以如果未来全部数学都以形式化方式完成，那么规格说明就内置在对象里面。你知道你不会用错它，因为你根本没法用错，Lean 不让你用错。那就是众包版的数学。那也是 Mathlib 十年前启动时的梦想：把数学运作得更像一门科学。
安库尔：插一句，你能说说 Mathlib 和 Lean 是什么吗？因为我们提了好几次，为了听众。
亚历克斯：当然。数学在理想状态下是一个形式化过程：从一个公理化系统出发，然后从那里按逻辑推理规则往下走。如果人们还记得——现在高中还教欧几里得几何吗？那本来应该是给孩子的模型，让他们第一次看到证明、看到公理化的结构。
亚历克斯：你可以把这个想法写进软件里，说：「这里是数学的真正公理，这里是逻辑推理的规则。」Lean 这类软件的谱系很长，叫作交互式定理证明器：你一行一行地写证明，计算机说：「是的，这一行确实是从上一行的目标状态按逻辑推理推出来的。」所以 Lean 是一种能检查各种东西的软件。它能检查你代码的规格是否和你想定义的东西一致。它最初就是为无 bug 的代码而发明的。
亚历克斯：希望将来我们真的会有无 bug 的代码，因为 AI 系统非常擅长在人类写的代码里找 bug，所以对这个用途来说它变得越来越重要。但另一个用途是检查数学结果——
亚历克斯：……让你用一种非常形式化的方式写下一个数学结果。Lean 本身只是检查逻辑步骤的硬件。你不会想每开一个数学项目，都从定义自然数是什么开始：用零和后继、用自然数的皮亚诺公理。所以最好有一个庞大的通用库，维护得极好、组织得极好，等等。那就是 Mathlib。Mathlib 是 Lean 生态里用来形式化数学的库。再说一次，Lean 只是其中一种交互式定理证明器，还有很多别的。它是到目前为止在「数学大战」里赢下来的那一个——如果真有数学大战的话。也就两个人比赛之类的事。
安库尔：而且它也是被部分用来证明 OpenAI 发布的那批证明是正确的技术。
亚历克斯：对。现在它已经成为标准做法了，因为自动形式化已经走到了这一步：AI 系统不仅能以自然语言证明一个定理——你不能相信它们的自然语言证明，那些是随机过程。它们说出这些东西，不代表它们脑子里一定有一个数学的模型，不管那是什么意思，跟我们一样的那种。但那没关系，因为它们会写一段 Lean 代码，建在 Mathlib 之上、建在素数定理的形式化项目之类之上，然后检查它确实把这个一直拆到公理层面地解决了。
安库尔：那我就顺着这条线走一下。这个思想实验此刻可能有点哲学，但如果你有一个黑箱，能给你你无法理解的证明呢？比如说更有意思的情形：不是因为它太长，而是因为这些想法对你不成立——对该领域任何一个世界级专家都不成立。你拿它怎么办？
亚历克斯：几乎按定义，唯一的可能……因为逻辑推理规则是写下来的，而且只有少数几条，就那么几条；公理也就那么几条。所以你的数学唯一可能「不可理解」的方式，是规模。
安库尔：我加一个反向的看法。
亚历克斯：好，请。
安库尔：我也在想的一件事是：把数学「去形式化」会是什么样？形式化当然是极大的帮助，它让我们确信结果是对的。但我们自己理解这些结果的方式，很大一部分其实是在某种非形式化的层面。什么是一个有意思的特例？这个技巧是从哪儿来的？也许那种世界长那样：如果我们有这些黑箱，我们会试着把它们拆开、想办法问它们更容易的问题，从而发展出某种理解体系，弄清它们究竟是怎么得到答案的。
亚历克斯：对。我们写论文时其实混在一起了两件很不同的事。一件是证明的工程，另一件是把它传达给别人，而这两件几乎互相冲突。我有过这种体验——我上学期教实分析。你打开任何一本实分析教材，这也是我当年上实分析时的体验：头两讲是「实数是什么？我们得定义它们，或者把它们构造成有理数柯西序列的柯西等价类」，诸如此类鬼知道是什么的东西。
亚历克斯：一门实分析的第一个学期，要用两周才走到那儿；然后我们有了实数轴，现在可以开始做微积分了，用形式的 epsilon 和 delta 定义，等等。这一直让我觉得离奇：我们这么做，可在这门课之前我就知道实数是什么了——它就是这条数轴。然后我们花两周讲有理数的柯西序列，到第三周，它又变回一条数轴。那到底是为了什么？原因是：写法、过去的写法非常工程化。你得先把实数构造出来，然后才能开始用它们。
亚历克斯：但实数，人类在弄清它需要被形式构造之前很久，就已经在用了。所以我课上做的是直接跳进 epsilon-delta 微积分。我们算了六周，直到某一点：等等，如果这里有一个定理，它在实数里成立——有某种收敛性，叫波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理：你有一列实数，它们在跳来跳去，但都在一个固定范围内，那么一定存在某个子列收敛到一个实数。而在有理数里这不成立。为什么它在实数里成立？实数是什么？你只有撞上一个需要被解决的问题，才会开始问这个问题。
亚历克斯：所以我教这门课的方式，跟它如果作为一个工程项目必须被教的方式，是反过来的：工程项目里，你不把实数构造出来、不知道它是什么，就不能开始谈实数。如果你在建立理论，那是正确的。但如果你在讲一个故事，那你完全可以就从实数讲起。你对它有个直觉，而直到你的直觉坏掉之前，你并不需要「怎么真正构造它」这个分辨率。
亚历克斯：所以我认为我们未来写论文的方式会很不一样：我们会花更多时间只是讲这个过程里我学到了什么这个故事、有意思的地方在哪里——「这里、这里、这里你做标准做法，但到这里你卡住了，那你往哪儿走？这里有一个想法，解释你为什么往左走、而不往右走、不往上往下。」而且会伴随一份 Lean 形式化，让你知道工程上确实行得通。因为你不能只讲故事。
亚历克斯：如果你只讲故事——数学不是音乐。音乐里你可以讲一个美丽的故事，中间有平行五度在某个地方走，你破了某条规矩，但巴赫一直这么干，所以也行。
安库尔：我觉得这一点非常重要，我想强调亚历克斯说的这一点。有一种数学观我并不相信，就是把数学看成定理不断上涨的潮水：「AI 怎么会不好呢？它在给这个潮水添水。」但数学真的不只是我们有多少定理，远远不是。它还是那个与问题搏斗的故事，因为当你跟一个好问题搏斗时，它会反过来打你，你会因此学到关于它的东西。它真正关乎的是你在这条路上建立起来的信念与抽象的体系：当你跟这个问题搏斗时，你发现了某种更普遍、适用更广的意义。
安库尔：而我认为，这是一个很好的机会，让我们摆脱那个想法：我们只是在把东西公理化，直到下一个定理。把这个故事讲出来——我们究竟是怎么走到这些问题上的、它们与其他问题有什么平行之处——在这个关键的时刻，比以往任何时候都更重要。
亚历克斯：对，那么回到你那个问题：是不是只是一个规模问题？是，它就是个规模问题；但正如安库尔说的，我们思考数学的方式是关于故事的，而有可能我们并不理解这件事的故事。你可以一行一行跟着一个证明走，却不明白真正在发生什么。你也许会说，那就让另一个 LLM 来给你讲这个故事，如果它能给出这样的解释的话。但那正是我们想要的：我们要故事，我们要理解。
莱克斯：当你跟一个问题搏斗，它会反过来打你。我认为这句话里有一个很深的真理，关于人类从事过的所有伟大的追求。说到这个，我想跟你聊聊历史上一些最伟大的搏斗，跟数学里一些最难的问题，那些已经倒下的问题。但首先，如果不介意，我们得休息一下。
安库尔：当然。
莱克斯：亚历克斯，你是数论学家。也许可以说你这一行的中心问题就是黎曼猜想。你在前面提到的推特/X 上对准黎曼猜想的证明表现出极大的兴奋。你能不能解释一下？讲讲黎曼猜想是什么，也讲讲你兴奋的性质是什么？
亚历克斯：当然。黎曼猜想有一分钟版、五分钟版，也有三十小时版。我不知道你想走多远。
莱克斯：我们就顺着这根线拉一拉。
亚历克斯：我们知道质数是什么。人们对质数的分布感兴趣。而黎曼发现的是：存在一个函数——这完全疯狂——存在一个以复数为输入、以复数为输出的函数，而这个函数支配着质数的行为。它叫黎曼 zeta 函数。所谓 zeta 函数的零点，就是指那些输入为复数、输出为复平面上的零、也就是复平面原点的位置。问题是：这些复零点在哪里？什么复数输入代进 zeta 函数，会给你一个零？天啊，为什么会——复数？
亚历克斯：你在说什么？我们有一些离散的、不能被别的数整除的数，坐在数轴上的自然数里，现在你要谈从复空间到复空间的函数。那就是那个伟大的突破：弄清了如何对质数做信号处理。你想，人们能听到你的播客，是因为我的声带产生了声压波，那是自然空间；然后它进入麦克风，麦克风分析它，对它做傅里叶分析，转成振幅和频率，它就是一串数字，把这些数字存起来或者发出去。
亚历克斯：扬声器再拿这些数字重建出对人们来说像我的声音的东西。同样的事情在发生——zeta 函数对质数做的就是这件事。它把质数——你可以把质数想成在抖动的空气分子——对它们做一次信号处理分析，能还原出同样的质数。而频率和振幅对应 zeta 函数的零点，zeta 函数里含有那个信息。黎曼猜想是说：所有这些所谓「黎曼波」的振幅，叠加起来能还原质数的分布，而所有那些振幅应当完全相同。
亚历克斯：就像演奏质数之歌的那支乐队，每一件乐器都以完全相同的振幅发声。这就是黎曼猜想的预测。
莱克斯：那你能不能——其实我们知道质数是什么，但也许进入哲学和审美浪漫的层面：为什么它在数学的核心处如此有趣、重要、中心、美丽？而跟「黎曼猜想为什么令人兴奋」相连的是：为什么弄清质数里有没有规律、是什么规律，这么难？
亚历克斯：我先回答你第二个问题。一件事为什么难，我只在知道答案之后才知道怎么回答。
莱克斯：一旦它被弄简单了。
亚历克斯：对吧？也许它不难。也许它没那么难，是我们以为的。我从没想过有生之年会看到准黎曼猜想的证明。所以我在周二看到它，这件事极其震惊。
莱克斯：你看到的那一刻做了什么？三十秒之内？你记得吗？
亚历克斯：记得，我记得我在哪儿——看到发布的那一秒。我们当时在纽约的国立数学博物馆晚宴上，我一手拿着威士忌，一边不停刷新。我在跟人讲话、社交，但我也一直在刷新，因为我知道它大约美东时间六点发布。
亚历克斯：然后发布来了。其实我当时正在跟一位 Quanta 的记者聊天，我们说：「哦，对，他们要发这些，你知道，三百、四百个」——我们不知道有多少，结果是七百个问题。我说：「哦哇，太酷了，发了。」我看着手机，第二眼看到的是准 RH。我说：「什么叫准 RH？你不是说……针对什么的？」然后我看，是 zeta 函数，是所有 Dirichlet 函数，所以他们解决了零点——没有零点。我说，那不可能是这次发布里的东西。那一瞬间我根本没法计算我看到的是什么。
莱克斯：在那么短时间里那样的进展速度。
亚历克斯：它太超出我对「什么可能」的模型了。而这一个月里，事情一直在超出我对「什么可能」的模型。费马大定理的形式化，我确定我们至少还差三年才能做那样的事。
莱克斯：那你可以展开讲讲。那是在 Lean 里，被形式化成……费马大定理在 Lean 里有多大？
亚历克斯：一千三百万行。
莱克斯：一千三百万行。
亚历克斯：所以就在两天前，我在普林斯顿数学系做了一场学术报告，非常详细地解释了 Lean 是什么、Mathlib 是什么，也解释了今天 AI 系统能做什么：Mathlib 这个库里一切都做得完美、普遍性层次正好——不应该有任何代码在别处重复证明定理，一切都最一般、最抽象，而 AI 系统能做的，是在它上面再盖一层、两层。但它们做的是「临时拼装」。
亚历克斯：它们还没有被训练过——我不是说它们做不到，但它们现在不擅长我所说的「正典化」：把粗糙的代码重构，弄清它究竟该放在库的哪个位置、这个陈述、这个引理的正典形式是什么，然后每一个证明都应当只是组合：你应用这边的这个引理、那边的那个引理，把它们拼起来，你的定理就出来了。那样才干净、才漂亮、才优雅。那就是 Mathlib 追求的东西。我在报告里说，我们今天所处的位置是：只要一部教材落在 Mathlib 的「光环」里，你就能把整本教材形式化。
亚历克斯：只要它跟 Mathlib 里已有的东西隔一到两步。但一旦你开始让它做离库三到四步的事——这正是我的实践与经验——它为一个目的给出的某个对象的定义，和它为另一个目的给出的同一对象的另一个定义，就会冲突。你没法把这些缝回去。你真的需要这个库、需要 Mathlib 长大，才能走到可以做真正的研究手稿、真正综合数学里大量不同领域的那一步。
莱克斯：这就是为什么你会预期费马大定理要花很久——因为它远在 Mathlib 光环之外。
亚历克斯：完全正确。凯文·巴扎德拿到一百万美元资助，要用未来五年——也许他已经进去一两年了——把费马大定理的形式化归约到 1980 年代已知的东西上。他只想做最后那一步：怀尔斯那七年、以及怀尔斯–泰勒那部分，最终完成费马大定理，但建在那些我们知道会极其困难的东西之上。他不打算做 Langlands–Tunnell，不打算做 Mazur。有一堆事本来预期比这五年能做完的还要困难得多。
亚历克斯：而我在那场报告里说的全都是错的。报告大概是周三。周五，就掉下来一千三百万行代码：从公理出发，费马大定理被证明了。费马大定理的陈述完全是初等的，不需要检查语义对齐，你扫一眼，对，就是这个陈述。Lean 说它没有 sorry。
莱克斯：你能解释它是怎么做到的吗？
亚历克斯：怎么做到的。是 Anthropic。怎么做到的：AI 系统就是变得非常非常强了。那仍然不是一个漂亮的证明，不是干净的证明，要把那个证明变成 Mathlib 质量，还有大量工作要做，我认为那是重要的工作、是我们想做的。但就拿到一个没有 sorry 的定理而言，它们直接轰穿了这一切。这里临时拼装一下，那里临时拼装一下，一千三百万行之后，他们得到了费马大定理的一个没有 sorry 的形式化 Lean 证明。这绝对令人震惊。
莱克斯：顺便说，这很美——因为一切太快了，会有很多陈述，包括世界级专家说的陈述，是错的。这正是重点。人类讨论好玩的地方就在于我们有分歧，我敢说今天说的东西里有四成到八成在五年后是错的，因为一切变得太快。但那正是人类讨论、审议、话语、乃至科学过程的重点：先胡说一通，看什么留得下来。十年、一百年，以此类推。
亚历克斯：我是在描述我的经验。我在 Lean 上、在使用 AI 上有大量经验。我是在 AI 以我们现在理解的那种形态存在之前就开始做 Lean 的，那非常辛苦。然后 AI 系统来了，最早的 LLM 在 Lean 上很烂，但后来好了一点、又好了一点，我说：「天啊，我可以做库搜索了。」
亚历克斯：我不必坐在那儿找——我知道有个引理做这件事，但我不知道它叫什么、不知道它究竟在哪儿：在流形库里？在代数几何库里？把它给我。它在这方面很棒，我说：「这太棒了，我会一直用这些系统。」我所有的经验都告诉我，它们能做 X，但做不到十倍的 X。而这是一百万倍的 X。它完全在我心里那个「系统能做什么」的分布之外。
莱克斯：你大概估计有多少人参与？在这一千三百万行代码里，人的介入是什么水平？
亚历克斯：我相信是两三个人。
莱克斯：好。
亚历克斯：而且我相信他们大部分的介入就是「继续」，全大写。
莱克斯：好。所以你认为真的只是温和的引导，而不是那种路径创造——
亚历克斯：据我理解，做这件事的人身上没有领域专业知识——
莱克斯：好。
亚历克斯：……在这些部分上。
莱克斯：就像 OpenAI 或 Anthropic 的那个梗：提示词就是「解决数学」之类的。然后——
亚历克斯：「搞个突破。」
莱克斯：对，对。「搞个突破。」
亚历克斯：「搞个突破。」那就是提示词。然后它就去做了。
莱克斯：当然，从公司角度你永远不知道，把它说成那样有很大的动机，即使中间可能有很多步骤、在训练的某些阶段、也许有些没说的事——即便最后的提示词是「搞个突破」，之前也可能有大量铺垫，我们不知道。
亚历克斯：我记得那是个周五，因为我的脑子完全被炸开了。那是劳动节，我们刚带孩子去海滩，我需要几天不查手机、不上推特，只是把孩子往海里扔。
莱克斯：你有没有那样一个瞬间：坐在那儿看着海，沉思？
亚历克斯：有。这一切到底意味着什么？其实一个月前我已经经历过一次了。而现在这说明：自动形式化基本上被解决了。
亚历克斯：它不是以我希望的那种方式被解决的。我希望——而且人们仍然会非常非常努力地在这上面工作。还有各种各样别的事情会发生，就像你证明定理时，作为那个过程的副产品，会有各种各样别的事情，为人类的理解服务。你在打造一个美丽的数学库时，也有各种各样别的事情，那个过程会继续。那个过程会非常困难。那会是全世界成千上万工时的人以这种开源方式贡献出来的。但就「能不能拿到一个人类写在纸上的东西的、没有 sorry 的证明」而言，我认为那个问题已经结束了。
莱克斯：所以你端着威士忌站在那儿，一个月前经历过一次，现在又来一次。
亚历克斯：对。这是第三轮。
莱克斯：这是第三轮。
亚历克斯：因为我劳动节回来的时候，是纳维–斯托克斯。
莱克斯：纳维–斯托克斯。
亚历克斯：但这一次——
莱克斯：所以我当时就想：「我刚为费马大定理哀悼完，你们还要对我做这个？别这样。」
亚历克斯：但这次，我是说，这次真的打到心里了，对吧，用准 RH。所以也许你可以谈谈质数的重要性和美，以及从准 RH 到完整 RH 这一跳有多大、多难。质数之所以如此宝贵，是因为它们是乘法理论里的基本粒子。每一个整数都分解成质数的乘积。我们知道物理里的基本粒子，所有物质都由它们构成。同样地，质数是构成整数乘法结构的粒子。它们的分布一直是个谜，现在仍然是谜。即便是黎曼猜想，也没有解决我们想知道的关于质数的一切。
亚历克斯：但黎曼猜想之所以那么美，是因为它指出了一个方向：分布应该是什么样。而且它在非常遥远的领域里有上千种应用。只要黎曼猜想为真，我们就能知道 XYZ。
安库尔：我插一个小故事，是上周出现的，挺好玩。格兰特·桑德森当时在高等研究院访问，我们长谈了一次 AI 对数学社群在做什么。我很喜欢卡米洛·德·莱利斯说的一句话，我尽力模仿，腔调我学不来。
安库尔：1950 年代有一位数学家写过一个剧本。谁知道数学家还写剧本，但据说这个剧本的前提是：冯·诺伊曼死了，上了天堂，见到上帝，可以问一个问题。于是他问：「黎曼猜想是真的吗？」当然所有人都屏住呼吸等答案。上帝说：「是真的。」大家终于可以呼气了。然后冯·诺伊曼问：「可你怎么知道？」上帝想了想说：「嗯，我知道所有零点在哪里，它们全都在实部等于二分之一那条线上。」据我理解，这个剧本的前提是：这对冯·诺伊曼来说不够。
安库尔：他有点被激起来了，想进一步弄清它为什么为真，我想他最后的结局是去了另一个地方。
亚历克斯：太棒了。
安库尔：我不知道该从这个故事里得出什么教训，但它似乎道出了数学经验本身。
亚历克斯：数学不是那个事实，而是那个「为什么」。它一直是那个「为什么」。那是我们对理解最深的追求。如果你只是告诉我一个事实为真，但我不明白它为什么为真，那对我的知识贡献是零。
史蒂文：质数也有意思，因为它们跟一个三岁小孩能理解的东西有关。根本上我们知道怎么给数加一；你小时候有一个突破时刻：我可以一直加一。那是个大想法。然后你学会乘法和分组，那也是个大想法。质数对我一直有意思，因为我们都不知道加法和乘法是怎么一起工作的。数学里两个最根本、最基本、最简单的想法，我们不知道它们怎么配合。我可以给一个我能分解的数加一，然后我完全不知道会发生什么。
史蒂文：我知道如果它是偶数就变成奇数，反过来也一样；但我不知道一个有很多很多因子的数，加一之后会不会变成质数。我们根本不知道「加一」这个简单动作如何改变乘法。质数基本上就是这个三岁小孩之谜的提纯，而这是一个我们所有人至今都在与之搏斗的谜。那才是有意思的部分：如果这个证明告诉我某种关于那个结构的根本性东西，而且我真能用上。
亚历克斯：对。说到三岁小孩，我大儿子当时大概两三岁。他在玩——我们有那种小方块，小孩喜欢玩的那种立方块，一包大概二十个，他会拼成一个四乘五的小网格，他很喜欢；他也会拼一个十乘二的网格，那也挺酷。然后有一天我看过去，他非常沮丧。我说怎么了？他说：「不行了。」其中一个滚到沙发底下去了，他只有十九个。他找不到办法用这十九个拼出一个好看的矩形。
史蒂文：对。这事今天还让我难受。
亚历克斯：所以……对。绝对，小孩喜欢质数。小孩能发现质数。就是那种不能——的。
安库尔：所以解决方案就是再丢一个，对吧？
亚历克斯：对。就是这样。
史蒂文：没错。
安库尔：那你怎么看从准 RH 到 RH 这一跳？我猜你认为，在你的一生里，人类在没有 AI 帮助的情况下解不出完整的黎曼猜想？
亚历克斯：我不知道。
安库尔：我猜接下来的问题是：AI 行不行？就是，这有多难？
亚历克斯：我不知道。我不知道。我从没想过会看到准 RH 的证明。现在我看到了这个证明是什么样，还有很多技术细节我得自己过一遍才满意。有一份 Lean 形式化。Lean 的陈述本来就在库里、本来就在 Mathlib 里，所以既然他们有一个没有 sorry 的证明，我就百分百确信这个证明是对的。而且，在高层次上读过这个证明之后，它用的那些想法全都是完全成立的。它们是出色的。把 Möbius 函数嵌进去、用六次特征去做扭转——这些都是解析数论家的家常便饭，但被用完全正确的方式串起来，绝对不可思议。
亚历克斯：黎曼证明的是——记得我们说的那个以复数为输入、以复数为输出的函数，我们关心输出什么时候是零。他证明了存在所谓的临界带：复平面里一条竖直的无限带，实部——你可以想成 X 坐标在零和一之间，虚部、也就是 Y 坐标可以任意高、任意低。而猜想是：所有零点都正好落在这条带的正中央，实部等于二分之一。这正是安库尔刚才说的。而到周二之前我们知道的是：zeta 函数没有零点的那个区域，随着你往上走，它越来越薄。
亚历克斯：它趋向那条「一」线。那条「一」线跟所谓素数定理有关：素数定理告诉你质数的基本分布，它等价于这个函数在实部等于一那条线上没有零点。所以如果 X 坐标是一，你沿着那条线上下走，永远找不到一个值让 zeta 函数打到零。好，我们因此有了一个无零点区域，你越往上走它越薄，而它给了我们已知最好的质数分布、素数定理里最好的误差项——如果你要，我可以展开，你说你想谈多少数学。
莱克斯：开始吧。
亚历克斯：但我本来能预期的是：它会把那条线稍微加厚一点——随着你沿虚轴往上，厚度仍然趋向零，但比我们现在已知的更好。那个厚度七十年没动过，但我大致能想象也许能有点进展。它给出的是一条竖直的带：实部在八分之七到一之间没有零点，一整条无限的竖带。这就是准黎曼猜想。而如果你能把那个八分之七降到二分之一，那就是完整的黎曼猜想。
亚历克斯：它用在八分之七那个证明里的方法——还有第二个证明是关于十二分之十一的，技术细节就别管了——那个方法从根本上到不了二分之一。
莱克斯：所以需要新想法。
亚历克斯：你需要新想法；但准 RH 需要多得多的新想法，而它把那些想法拿出来了。
莱克斯：那你的——既然已经经历过三次了——你的直觉是什么？这是问你们三位：关于在脑子里重新测量各个问题的难度。因为你提过，比如专挑容易的东西做。那么想必你有一部不错的难度雷达：这个问题大概可解，这个今天不可解，这个这周可解、这个这月可解。你们在调整自己、适应这个新世界吗？
安库尔：我在调整的是我对它预测能力的（缺失）。
莱克斯：对。就是这样。可你原来是有能力的吧？只是噪声大。
安库尔：当然。只是噪声比我以为的大得多。我认为我们一直知道，有些我们在意的问题落在现有工具可及的范围之内，但真正令人意外的是量级：到底有多少不同的问题落在这个类别里。而且我们也不知道很多事——据说他们提示了数千个问题，放出来的只有正面的解答，成功率大概只有百分之十。所以我们只能猜：是否存在一条非常锯齿状的边界，我们眯着眼睛看能看出道理来，区分哪些倒了、哪些没倒？
安库尔：我认为另一个危险是：也许最安全的问题，恰恰是那种你一看就知道非要有一个非常有创造力的新想法才行的问题。因为你能大致判断这里可能有道墙，而文献里现有的东西似乎塞不进那个洞。但现在我认为永久改变了数学地形的一件事是：也许人们对这类想法会变得比过去更保密。
安库尔：因为一旦这些想法流出去，对 AI 来说，补上那一个新想法、那一个缺失的配料、它需要的那块新瓷砖，然后穷尽式地探索它能从那儿够到什么，可能会直接得多。所以你可能比以前更保护自己的想法。我觉得这也有点可怕，因为传统上数学社群在分享想法这件事上一直非常开放，而那是失去会很糟的东西。
亚历克斯：但那也是因为我们有这种「第一个进门」的心态，我认为那也会变。
安库尔：对。
亚历克斯：我更希望开放留下来，走掉的是「第一个进门」。
安库尔：对，但那需要时间。
亚历克斯：需要时间。
安库尔：是。所以那可能是一种更短暂的效果：如果我们学会重视别的东西，它也许会消失。其他社群有模型，示范了怎么在不神化某一个人贡献的前提下评价贡献。所以并不是没有前进的路，但短期内，那确实是「像过去那样做数学、像过去那样享受它」的一个真实路障。
莱克斯：说到这个，史蒂夫，你给我们讲过一个关于汤的故事，那让你可能爱上了流体力学这个更大的问题。从数学到应用数学再到工程，整条线。所以也许你可以谈谈纳维–斯托克斯，这组解释流体的方程，为什么它这么重要、为什么它美？跟我们刚才谈质数一样：为什么它这么难，以及纳维–斯托克斯被证明，为什么是件大事？
史蒂文：根本上，纳维–斯托克斯方程只是把流体的动量守恒写下来的一种方式——对像气体和液体这样能相对自由运动的物体。我们知道 F 等于 MA 是动量守恒，是经典的牛顿物理。同样的基本原理适用于这个房间里的空气、流动的水，而且在任何体积里都成立：小体积、大体积、某种想象的体积。如果你在一个体积里写下动量守恒，然后让这个体积取极限、变得任意小，你就得到这些纳维–斯托克斯方程。
史蒂文：它是一个微分方程、一个偏微分方程，描述流体的速度场如何在空间和时间中变化，以及与该流体所受的力相关的压强。
莱克斯：你能不能给点直觉：既然 F 等于 MA 是相当简单的方程，为什么流体是这么复杂的系统？
史蒂文：F 等于 MA 写下来很简单，但它可以非常非常快地变复杂。如果我有一个单摆，写出这个单摆的方程很容易。如果我在它末端再挂一个单摆，那方程就更复杂了，而且会给出混沌。流体某种意义上就像：如果我要给这个房间里的空气建模，我可以把房间切成十亿个小盒子，给这十亿个小盒子里的动量各写一个小微分方程，但那时我就有了一个真正复杂的方程组。
史蒂文：所以它写下来简单，概念上理解这个方程在说什么、在表示什么也简单；但真正去解它、以任何实用意义去理解流体究竟怎么流，那是非常非常复杂的。
莱克斯：我读过类似这样的说法：流体力学很重要的一个地方是飞机飞行时减小阻力。我读到，把阻力降低百分之一，航空公司大概能省下几百亿美元。那为什么这么难？这是一个。而阻力可能比湍流还容易一些。所以为什么这些值这么多钱的东西这么难？
史蒂文：好消息是：如果你能改进我们预测湍流的能力——哪怕只是模拟得更好一点、更快一点、更准一点——有几十个领域会因此产生巨大影响：经济、生态、人的健康与安全，只要相对很小的改进。飞机减阻、更好的人工心脏、更高效的风机和燃气轮机，等等。我们生活、工作在一个流体里，我们所有的机器也是。逆设计问题——我知道它跟这类数学问题关系非常紧：我知道我想证明什么，但我不知道怎么走到那里。
史蒂文：我知道我想要一只有高升力、低阻力的机翼，但我不知道改变几何、改变机翼形状，会如何影响那一整串越来越小的涡——机翼上方生成的湍流最终决定了它的升力和阻力。我不知道怎么高效地做逆设计。部分原因是方程模拟或测试都很贵：风洞很贵，模拟这些东西要超级计算机。这其实跟纯数学也有关，我想到后面会回到这一点。
史蒂文：还有费曼有一句很好的话：我们知道怎么写下这些非常一般的方程——麦克斯韦方程、纳维–斯托克斯方程、薛定谔方程——但我们目前无法从方程本身知道有哪些现象是可能的。如果你从没来过地球，你能光凭一个偏微分方程预测出日落、潮汐和一切现象吗？我们离那儿还差得远。这里有一些非常根本的数学问题：我能写下一个微分方程，但我没法告诉你里面有什么。
史蒂文：我们还得模拟、还得测试、还得走这套非常繁复的工程流程，才能理解这些方程如何表现为机翼上的阻力，或者人工心脏里的湍流。
亚历克斯：抱歉，我能就这一点问个问题吗？我一直想……比如在爱因斯坦的广义相对论里，他写下这些方程，几年后史瓦西找到一个「爆炸」（blowup），大家就说：「别这样。这些方程到底哪儿错了，居然有个爆炸？你要是把足够多的物质塞进足够小的空间，光都跑不出来。我们对这个没有任何物理经验。这一定是方程里的错误。」直到我们发现了黑洞。
亚历克斯：结果发现，这个理论完美地解释、并预测了该发生的事。那在纳维–斯托克斯的爆炸这里，我们是要发现关于水的某种新东西，还是说在某个尺度上你会碰到粒子、碰到一个不再服从液体方程的原子结构？我们凭什么会预期，一个连续过程被推到极限时应该有解？
史蒂文：这是个好问题。我给工程上的答案：这些方程是在某个尺度上对流体如何运作的极好模型。你说得完全对：你需要在一个体积里对若干分子取平均，它们才能成为成立的本构方程。所以如果你拉近得足够小，我们谈的就是单个分子，纳维–斯托克斯就失效了。所以「这些方程会不会爆炸」这个数学问题，从数学角度看有意思；而到它们爆炸的时候，它已经不是流体了，就像——
亚历克斯：没有黑洞。
史蒂文：没有黑洞。别的物理接管了。
莱克斯：但有可能——等等，我觉得从科学哲学角度看有意思的是：方程失效的地方，也许统计学上很可能，是通往某个需要别的发现才行的突破的一扇窗、一扇门。就像牛顿物理失效需要爱因斯坦。
亚历克斯：对。而大统一就是——我们在同一尺度上还没有引力，跟亚原子粒子相互作用不在同一个尺度。
史蒂文：但「我们对这些方程还有这么根本的东西不知道」这个想法——此刻地球上有这么多人在各种能想象到的行业里模拟和测试纳维–斯托克斯。它大概是整个工程世界里被研究、被分析、被使用得最多的方程之一。而我们不知道这个偏微分方程的这个根本性质：它会不会在有限时间内爆炸？这是那个更大问题的零阶版本——那个更大的问题是：它还容许哪些别的解？有没有日落、飓风、龙卷风，和一切可能存在过的现象？存在性与唯一性只是最简单的婴儿步。
史蒂文：而这才是我觉得有意思的地方：即便这个数学结果在工程意义上没有直接的、可触的用处，它也让我们离理解这些方程的本性、理解什么是可能的更近一步，而那对我们来说是非常根本地有意思的。
亚历克斯：有没有可能——这个带爆炸的解，能不能某种程度上被用在工程应用里，比如你想把流动驱动到那个状态，得到某种有趣的行为，帮飞机以更小的阻力飞？
史蒂文：是，原则上，很大一个产业、我们试图做的很大一部分，就是操纵流动，把它拗成我们想要的样子。你看鸟飞、昆虫飞，它们都在塑造涡，小心翼翼地把能量漏斗进某些结构里，服务于它们日常生活的目标，比如落在石头上，或者捕猎。我们试图做同样的事。所以流动控制是最高的挑战之一，非常非常难。但如果我们控制这些流动的能力更好，我们所有的科幻技术都会有点像被加速。而这个证明，某种意义上就是这种极专门的流动控制的一个非常有意思的构造。
亚历克斯：我想起费曼在七十年代被问到智能、人工智能时说过类似的话：「我们用技术解决问题的方式，跟自然解决这些问题的方式根本不同。看鸟怎么飞，看飞机怎么飞。」他指的正是这一点。现在回看这句话很有意思：我们看到 LLM 在定理证明上能做什么，对比人类大脑在定理证明和各种其他应用上能做什么。但有意思的是，他正正指向这个问题：我们用技术解决飞行，跟自然的解法有多不同。我们的飞机不扇翅膀。
史蒂文：我现在会想，鸟看见飞机飞的时候，会不会有存在主义危机。
亚历克斯：就是。
史蒂文：我到底在这儿干什么？
亚历克斯：对，对。为了那条虫。纳维–斯托克斯方程有哪些不同部分？你能不能深入讲讲，描述流体需要什么？
史蒂文：非常非常基础地讲：流体在动，而且在不同地方、不同时刻动得不一样。所以流体的基本构件是速度场：空间每一点上有一个速度矢量，告诉你流体在那里怎么动。也许这里很快、那里很慢，于是形成一个涡。当流体速度在空间上变化很大时，事情就更有意思了：龙卷风就是一个在空间和时间上都变化极快的速度场。还有压强参与——龙卷风的核心是低压，所以是压强在某种意义上强迫这个速度场，让它那样运动。
史蒂文：这就是构件：速度场和它的压强。然后方程告诉你这个速度如何随时间和空间变化，依据的是它自己的动量。流体有动量能带着自己走，那就是阵风；它有内部的摩擦和阻力，那就是黏性——蜂蜜比水黏、水比空气黏。然后还有一切外力，比如加热、压强、重力之类。这里每一项都可以被量化成这个更大的纳维–斯托克斯方程里的一个项。
亚历克斯：那说到外力，你能不能讲讲这个带爆炸的纳维–斯托克斯在数学那一侧？问题的表述是什么，实际被证明的是什么，为什么它这么难？
史蒂文：如果没有那个内部摩擦、那个黏性，我们有很强的怀疑：这些方程在某些条件下会、而且会爆炸。我们还有别的例子：一些更简单的问题、类纳维–斯托克斯的问题，确实会爆炸。最简单的一个就是一个常微分方程，如果不介意我稍微跑一下题。
亚历克斯：走。
史蒂文：X 点等于 X 的平方。X 是我系统的状态，X 点就是 X 随时间的变化率。如果 X 的变化率是正比于 X 的平方在增长，这个微分方程确实会在有限时间内爆炸。所以只需要一个二次非线性。想想如果 X 点等于 X：X 可以是兔子的数量，而兔子喜欢繁殖；X 点等于 X 是指数增长，我的兔子数量随时间指数增长，越来越大，翻倍、翻倍、再翻倍，但它要等到无限长时间过去才会到无穷。那就是普通的指数增长，不是有限时间爆炸。那是 X 点等于 X。
史蒂文：但如果我用 X 点等于 X 的平方，它就在有限时间内爆炸。所以那个二次非线性、那个二次反馈，就足以让这个方程爆炸。你写下来，用经典的基础微积分技巧就能解出来，得到这个有限时间爆炸。于是一连串偏微分方程都有同样的行为，都是因为一个二次非线性——而这非常有意思：纳维–斯托克斯方程里有一项，那个描述流体如何靠自己的动量带着自己走的对流项，就是一个二次非线性，就跟 X 点等于 X 的平方一样，是某种自运动。
史蒂文：如果没有扩散、没有黏性，我们认为它大概会在有限时间内爆炸到无穷。但我们不知道黏性——那种像蜂蜜一样的内部摩擦与阻力——是否总能在这些爆炸发生之前把它们衰减掉。作为工程师我的直觉是当然会：如果一个流动在加速到无穷，它应该立刻扩散到邻近的流体里，把那个增长压下去。
史蒂文：所以我认为这个数学问题本质上是：有没有任何边角情形，任何流体的初始位形，让你把这件事编排得完美无缺，使它真的能在有限时间里加速到无穷？这有两个技术版本：一个没有外力，一个有光滑外力。「光滑」很重要，因为如果外力有奇点，那就有点平凡了——如果我用一个龙卷风去驱动它，一个无限紧的龙卷风，那当然会爆炸。
莱克斯：问题陈述里是有光滑外力的。
史蒂文：一共有四个版本——
莱克斯：对。
史蒂文：……在克雷研究所的网站上。其中一个是带外力的版本。
莱克斯：那就是被证明的那个。
史蒂文：那就是被证明的那个。
莱克斯：究竟被证明了什么？你看到的那份证明里有什么有意思的事？
史蒂文：被证明的是：存在这样一种编排光滑外力的方式，它把方程里各项完美抵消，于是你得到这个涡。这只能在三维里发生。这一点非常重要——
莱克斯：我们也许该说明，我们一直在讲三维。三维和二维差别很大。
史蒂文：对。我们谈流体时通常想的是三维，但也有一些类比或者简化的二维流。地球上的天气可以很好地近似成二维流。
莱克斯：对，你在某次演讲里提到过，飓风在二维里能被很好建模，龙卷风是三维的，我记得你在那里画了不同的类比。
史蒂文：对。三维湍流里一个有意思的现象是：你一般会有大涡破碎成小涡、再碎成很小很小的涡，直到最终以分子方式扩散成热。这就是三维湍流的级联。在二维里，比如地球的天气，你其实得到反向级联，这正是飓风形成的原因：小涡并成中涡，中涡并成更大的涡。所以这次 AI 的证明——那个「可以有限时间爆炸」的反例——基本上是造出一个非常非常专门的涡，在第三维上被拉伸、被变细，使它最终能变得无限细。
史蒂文：半径越拉越小，就像花样滑冰选手旋转时收臂，你会转得快得多。这个涡有一种非常专门的收缩速率，使得流体里的能量仍然保持有限，但在那条局部的细丝上流动爆炸，你得到无限涡量。让我意外的是：在 AI 给出证明之前，数学家就已经开始认为有可能找到这个反例了。
莱克斯：那大概是十五年前才开始的。
史蒂文：对。
莱克斯：所以——
史蒂文：放到大尺度上看，是相对近期的事。对。
莱克斯：不是去找解，而是去找反例。
史蒂文：对。因为我们所有的物理直觉都说扩散会解决这个问题，所以它在物理上非常反直觉。
莱克斯：在数学世界里，那是个非常难的问题。构造出反例很了不起。作为一个长期盯着、研究过大量流体自然系统的工程师，它教给你什么？也许可以以此为台阶，谈谈流体里同等难度以及更难、还没解决的问题是什么。
史蒂文：这是一个很重要的数学结果。
莱克斯：哦不。
史蒂文：我会说……
莱克斯：但是——
史蒂文：……日常工程里的流体、流体应用数学分析，几乎完全没有变。流体今天模拟和预测起来，跟一个月前、两个月前一样难。所以当我真的要用流体去解一个工程问题——我要设计一只机翼或者一颗人工心脏——我仍然必须以非常实用的方式去模拟、预测、操纵这个流动，而那在超算时间和风洞资源上都很贵。这个数学定理和证明非常有意思，但它运作在那么非物理的区域，实际上不影响我的日常工程。
史蒂文：还有很多——我不知道，这话很切口，但我喜欢这么说：我们解决了一个百万美元的数学问题。还有一个万亿美元的工程问题，就是你怎么快速、高效地预测这些东西，并做这种逆设计。那是一个难得多的题。
莱克斯：你说万亿美元，是因为它字面上——
史蒂文：字面上。
莱克斯：……如果你解决了其中一些问题，你就能挣那么多钱，不是因为那是奖金，而是因为有那些产业。
史蒂文：对。我们可以说：更快更好的解、更低的阻力、更少的排放，等等，对人类有万亿美元量级的潜在好处。交通、国防、健康、能源，这些核心技术上都有流体。所以我认为那些问题仍然非常难。而这个数学结果的重要性，用我刚才的说法：我们不知道这些方程里「什么是可能的」这个根本性质，我们甚至不知道解是否存在。那太根本了。这是迈向一个更大的人类目标的小小婴儿步——以更实用的意义理解一个方程里有什么。
莱克斯：你能不能谈谈流体里一些也许很美、很迷人的现象，你一直在想的？你提到湍流。这个领域里要理解的大谜题是什么？你提到阻力、空气、流体。人们在想的那种千禧年大奖级别的大问题是什么？
史蒂文：太多了。可以分成几类。湍流之所以很难，是因为它是多尺度的。
莱克斯：什么是湍流？
史蒂文：湍流是这种：当一个复杂的流体翻涌、混合、运动，有点像达·芬奇那些画——他画过各种不同尺度上的流体，很美。所有尺度都重要：大涡、中涡、小涡，全都要紧，才能预测升力、阻力和那个东西。这个房间里的气体就是一个很好的反例，它是湍流的反面。它很复杂：分子全都以非常狂乱的方式到处跑，而且分子很多，十的二十三次方那么多个气体粒子——但那些单个的位形都不重要。
史蒂文：我们从热力学知道——这是经典物理的伟大成功——其实是少数几个数决定了这个气体怎么行为：温度、压强、密度。这种简单描述对湍流不存在：机翼上方流动、你心脏里的流动、河上的流动。所有尺度都真的重要，那次模拟里的所有数字都真的重要，才能预测下一个行为、预测会发生什么。这让它在根本上很有挑战。所以这其实是一个很好的 AI 问题：有没有一个坐标系？有没有一组数，就像我们对气体有温度、压强、密度那样？
史蒂文：有没有一组数、或者某种对湍流流体的表示，让它能被简单描述、并且对工程有用——就像我们对气体动力学那样，用来造马达和引擎？
莱克斯：那么有意思的问题是：如果这是一个 AI 问题——我相信 AI 正在听——那个问题的解，路径会穿过数学，还是穿过让 AI 系统坐在那里看流体看一阵？
史蒂文：我认为两边都是。
莱克斯：因为鱼已经搞明白了。
史蒂文：它们搞明白了。我觉得你的关键词对了：坐标。这也是我说两边都是的原因。我不是想讲俏皮话，但我们所有伟大的物理突破，之前都有一次坐标变换。牛顿的 F 等于 ma，是在我们把太阳而不是地球放到宇宙中心之后才有的，对吧？你得先做那个坐标变换。所以在我看来：我们要拿所有这些数据、这些模拟、这些对流体的观测，去找一个简单的坐标系，让那个流体的描述变得非常简单、可推广、在物理意义上美。
史蒂文：这既是蛮力活——拿大量数据，试一堆不同的坐标变换和表示，直到找到最简单、推广最好的那个；但那种坐标变换可能长什么样，里面也有大量深刻的数学。一般规律是：如果一个非常聪明的人在七十年代、八十年代问过一个问题、但在计算上撞了墙，那今天就是非常肥沃的地。比如我们从一些基本原理大概知道这些坐标系的形状应该是什么，我们只是从来没能把它写下来——它们太复杂了。
史蒂文：那对 AI 来说就是一个完美的问题：现在给它多得多的数据、多得多的算力，看我们能不能开始学出那些我们知道应该存在的变换。
莱克斯：为了让我理解：涡的形成，就是那种小型的龙卷风。
史蒂文：小龙卷风。
莱克斯：它们的形成——那部分是不是很难理解？
史蒂文：绝对。而且它也很美。我很喜欢看那种视频：你把两个涡打到一起，它们会互相影响，然后以非常有意思的方式合并——一个红涡一个蓝涡，你能看到它们在哪儿合并、接上。但它们同时会拉伸、折叠，而且湍流是混沌的，所以轨迹会像意大利面一样缠起来。它不是随机的，里面有大量结构，但它非常多尺度、非常非常缠。
安库尔：我一直在想一件科学上的事——这些真的是很有意思的问题，刚才那个解释很好。我总是好奇：自然已经能解哪些计算问题？这方面有很多例子，比如著名的黏菌找最短路径、走迷宫。其实纳维–斯托克斯的一些前身工作——比如陶哲轩证明类纳维–斯托克斯方程可以爆炸，因为它们可以模拟图灵机——就是这一类。所以我也想知道：这些「涡相撞」的计算能完成什么计算任务，而那又如何限制应该存在什么样的坐标系。
安库尔：因为你刚提到 PV 等于 nRT，那是一次了不起的降维——
史蒂文：嗯，对。
安库尔：……因为你不必追踪所有粒子的位置和速度，只有一小串数字描述一个宏观状态，就完了。但如果我在湍流的情形里真有那样大规模的归约，那在我看来，要计算非常有意思的东西好像也会变得很难。
史蒂文：会不会像生命游戏那样：你有一个非常简单的元胞自动机系统，它是一台通用图灵机，你想在里面造出什么行为都行？
安库尔：对，是这样。生命游戏常常让人想：要有这些古怪行为，规则最少可以多小？而规则能小到那个程度真的令人震惊。但我想，作为理论计算机科学家，我们这个领域最大的出口之一其实是「算法的透镜」。
安库尔：所以它不只是关于你有明确定义的问题、有一台笔记本、想把它解出来；它也关于自然世界里的计算，以及那教给我们自然的规则可能是什么。著名的例子比如多人博弈里的均衡：纳什均衡是一个伟大的解概念。但当然，纳什均衡难以计算这件事本身就提出了疑问：它真的是解释人怎么玩游戏的那个普适机制吗？
安库尔：卡马尔·贾恩有一句话我很喜欢：「如果我的笔记本找不到它，市场也找不到。」对我来说，真正令人兴奋的是这些不同视角的交汇处。你刚描述的时候，在我听来下面藏着非常有意思的计算问题，而思考那种计算如何限制一个好的坐标系该长什么样，可以让你获得对偶的视角。
史蒂文：我觉得这样框定这个问题很好。我会举两个极端的例子。地球的天气和气候系统是真正的复杂：所有尺度都重要。这个邮编区的天气对我重要，一切都重要，所有变量都重要。你说得对：如果我把这个系统过度归约成五个数，我就失去了我真正在意的那种描述能力。这是一个极端。另一个极端：想想一只蛾子、一只蝴蝶或者一只果蝇怎么飞。它们是「存在性证明」：你可以与一个极其复杂的湍流互动，做非常高级的工程控制。
史蒂文：它们能在阵风里、雨里控制自己的力和力矩，它们过着非常丰富的生活，而它们想必没有流体力学博士学位，也不知道纳维–斯托克斯。它们大概不跑超算模拟。也许有五六个数，对它们日常维持前缘涡、以及失速翅膀去停驻和降落来说真正重要。这是两个极端，而我真的很想两边都能处理：既能处理真正复杂系统的全部复杂性，也能为昆虫那种极端情形下的快速决策蒸馏出绝对最低限度的要点。
史蒂文：而且在很多工况下，生物飞行者的表现仍然显著优于人类设计的流体系统，所以关于这些简单系统，我们还有很多要学。
安库尔：也许我们现在有点滑进研究了，但……对我来说，自然不仅解决非常难的优化问题，而且似乎找到非常稳健的解，这一点一直很惊人。我总被一件事打动：我们建模时，倾向于假定我们对纳维–斯托克斯这类东西的边界条件和初始条件有完全的知识。但鸟飞的时候并不知道这些。而某种程度上，带不确定性去建模，正是你重新表述优化问题、从而得到非常丰富、稳健的解的方式。很多日常例子都对得上，这让我觉得很神奇。
安库尔：我记得——我是棒球迷——我读过一篇关于棒球的数学论文：当一个外野手，球被打出去之后，很多东西是已知的：速度、轨迹。你会以为外野手会走一条直线去他预期球会到的位置。但你观察外野手，他们走的不是直线，他们走一条略微弯曲的路线。为什么？至少一种理解方式是：那其实是一个非常稳健的策略，因为走曲线时你可以不断重新评估——
安库尔：……球的轨迹，然后按需调整。所以自然找到的解非常有意思，但「优化问题的正确表述究竟是什么」并不总是显然；而有时用不确定性去建模，好让你设计出对「你没有完整系统知识」这件事稳健的解，似乎是这幅图景里很重要的一块。
史蒂文：跟这个有关有个好玩的插曲。特别是昆虫，它们没有能力测量完整的流场。它们对一阵风的反应，比「信息打到翅膀、传到大脑、再回到肌肉」这个流程要快。生物学家研究这件事研究了几十年。他们发现：翅膀上嵌着对形变敏感的神经元，也许几十到几百个，位置非常固定——兄弟果蝇的形变敏感神经元位置完全一样——而这些神经元在翅膀以某种特定时间模式弯曲时放电。
史蒂文：所以一阵风吹来，翅膀弯了，神经元放电，于是这只昆虫肩部肌肉里发生一次局部计算，直接回去、稳健地纠正——依据的只是一个系统的部分信息，而那个系统是非线性、湍流的，它也没有关于它的方程。所以这又是一次「存在性证明」：证明你刚说的那件事——依赖部分信息与不确定性，也许正是稳健策略。它们用少得多的信息，做到了我们现在做不到的事。
安库尔：是。我有几个——抱歉——抽嗨了的想法，因为亚历克斯提到了黑洞。我有个好玩的念头：也许纳维–斯托克斯方程爆炸时观测到的那个奇点，是在我们不再是地球上的机翼、而是坐着我们搞出来的曲率驱动飞船穿过两个相连的黑洞时派上用场的——那时就是时空的流动控制，而它就变得相关，因为你在黑洞里，所以有奇点。这是——对只听声音的听众说明一下，亚历克斯刚给我的那个眼神，伤了我的心。好，下一个话题。
亚历克斯：但那需要外力——你需要那个黑洞涡也被以恰好正确的方式——
安库尔：那个，对，外力。外力在哪儿？我是说，到那时候——
亚历克斯：你怎么……对。你可以试着骑它。对。有一种办法——你可以从中做出点东西来。
安库尔：未来有一些（听这期的）家伙听到这里，有那么一个非零概率，那就是他唯一一次说对了。可以的话，我去趟洗手间。
亚历克斯：好，没问题。
安库尔：好。安库尔，我最喜欢的主题之一是理论计算机科学。你是其中许多问题的世界级专家之一。所以我很想问你这次 OpenAI 发布里被解决的重大问题之一：唯一游戏猜想。你能不能给大家一点直觉：这个问题是什么、为什么它重要，以及证明里有哪些有意思的部分？好，我很乐意。先给一点背景。我们从复杂性理论一〇一讲起。理论计算机科学里最重要的问题之一是可满足性问题。脑子里要装着这个画面：你有一批变量 X1 到 XN，它们可以取真或假。
安库尔：然后我要用它们造一个大公式，通常做法是「或的与」。我先从一个子句开始，它是一个或：X1 或非 X3 或 X7。取决于我的赋值，只要这里面至少有一个为真，这个子句就被满足。然后我把许多这样的子句与起来。问题是：如果我给你这个公式——叫合取范式公式——你能不能找到一个满足赋值？你能不能给 X1 到 XN 各取真或假，让所有这些「或」子句都成立，让整个公式为真？
安库尔：这是那个经典例子：一个问题，检查别人的答案很容易，自己找答案可能很难。如果你告诉我它可满足，我要做的就是：「好，把满足赋值给我。」你告诉我 X1 取什么、X2 取什么，我就一个子句一个子句地检查，确认你真的把一切都满足了。理论计算机科学的中心问题是 P 与 NP 问题：那些容易检查的问题，容易找到解吗？我们领域的假定是：不，不容易。而那是密码学、电商等等很多东西的基础。
安库尔：通往唯一游戏猜想的真正起点是一个叫 PCP 定理的东西。那是九十年代证明的里程碑结果，重要到上了《纽约时报》头版。它的核心思想是：连欺骗一个验证者都是稳健地困难的。你从一个公式出发，它要么可满足要么不可满足，对吧？那是什么意思？如果可满足，你可以写下一个赋值，我可以一个一个检查整个式子为真。但如果不可满足，那就意味着你在某处撒谎。
安库尔：你写下这个自称的满足赋值，而当我一个子句一个子句地走，我很快会找到一个不为真的子句，那就推翻了整件事。我说：「啊哈，抓到你了，它其实不是一个满足赋值。」所以概率可检查证明这一类东西背后的想法，其实不进太多技术定义，核心就是差距放大：你能不能从一个难以判定可满足性的公式出发，造一个新的、也许大得多的公式，它在「稳健地容易检查」这个意义上成立——如果它可满足，它仍然可满足，你可以写下一个赋值，没问题。
安库尔：但如果不可满足，我应该只要抛几次硬币、查询随机变量、检查一个随机子句，就能以很高的概率发现你在撒谎。要点是：只做非常次线性的检查、只做常数量的检查，我就能发现你在作弊。这是理论计算机科学里一个划时代的结果，因为它真正为「近似困难性」奠定了基础。算法和复杂性理论里有很大一部分是：当你面对真正难解的问题时怎么办？我们做的一件事是尝试近似地解它们。也许我们找不到一个满足所有子句的赋值，但能不能找到一个满足很多子句的？
安库尔：满足多大比例的子句？即便在这里，我们也会预期问题在某个点之后变得计算上困难。应该不只是「判定它完全可满足还是完全不可满足」很难，也许连「它是百分之百可满足，还是只有百分之九十九可满足」都很难判。所有赋值里最好的那个至多满足百分之九十九的子句——连这都可能是难的。这就是概率可检查证明给我们的东西：在我们已知优化问题很难的地方，它们告诉我们，连近似都很难。而唯一游戏猜想是普通 PCP 定理的一个加强，因为它跟某一类特定的标签覆盖实例有关。
安库尔：细节有点技术，但要点是：如果那个版本的概率可检查证明成立，它会有这种了不起的组织效果——对一大片问题，我们就会确切知道最好的近似算法是什么，而且它还会非常简单。我入行的时候，唯一游戏猜想刚被提出几年，当时还有很多争论它该为真还是为假。人们努力想给出它的证明，也努力想反驳它。
安库尔：有一段很神奇的时间，大概在 2010 年代，来回非常多，每有新结果出来，人们就改变自己信不信唯一游戏。我喜欢一句俏皮话，我忘了是谁说的，所以没法正确署名，但有人跟我说：「也许上帝会根据哪一边更努力来决定它为真还是为假。」因为它真的年年都在变。而这次 OpenAI 那批证明里，一个头条结果就是：唯一游戏猜想为真。我得说，这并不是没有人类壮观的进展。
安库尔：我在 MIT 的一位同事、我在高等研究院的一位同事，都和其他人一起贡献了其中许多重大进展。多·明策和伊里特·迪努尔证明了一个更弱的版本，叫「二对一游戏定理」，那真的是一声惊动整个理论计算机科学的枪响，因为那时我认为很多人都不确定唯一游戏猜想的前路在哪，而他们的工作真的给出了一条可行的路，通向接近唯一游戏的东西。所以听上去，人类再花十到二十年也许能走到。但就在 OpenAI 放出结果的时候，事实证明唯一游戏猜想确实为真。
安库尔：这相当了不起，因为某些时候我确实发现自己站在怀疑者那一边，唯一游戏听起来太好了、不像是真的：普拉萨德·拉加文德拉等人的工作意味着，它会给那么多不同类型的约束满足问题带来最优的近似困难性，那个结论在我看来太强了，不像是真的。
莱克斯：那一晚你得知的时候是什么感受？
安库尔：首先，在这之前几周就已经有传言说 OpenAI 解决了唯一游戏猜想、而且为真。而这些甚至不完全是随意传言：我的一位同事多·明策真的贴出了一篇论文，他在脚注里写了类似这样的话：「我们本希望把这篇论文打磨得更好，但因为正在流传的传言，我们觉得有必要尽早把我们的方法拿出来。」所以对我来说，某种意义上是一种解脱：结果终于出来了。不过它们不是很好读的论文，不是那种你一指就能很快指出新的关键想法在哪的论文。
安库尔：但我很高兴它们出来了，因为现在我们可以进入下一阶段：消化这些证明，弄清这个领域之后往哪儿走。至于那晚我的感受——像亚历克斯说的，我们手里都有酒。然后我在手机上看到这些证明已经发布的新闻。在晚宴上人们不停过来跟我说话，可作为数学家本来就很难社交——更别说你手上有一堆真的很想读的数学。
安库尔：所以这是加倍的难。另一件好笑的事：我当时已经在纽约，所以我把晚宴前的机会用来拜访纽约大学很多认识的人。我恰好见到了苏巴什·霍特，唯一游戏猜想的提出者。我恰好在晚宴前、OpenAI 论文发布前几个小时问他：「苏巴什，如果他们放出一个唯一游戏的正向证明，你会怎么做？你会读它吗？」他告诉我：「不会。」遗憾的是，那是很多人的反应。真实情况是：我们为这些大挑战工作，而当它们有时被解决时，有时感觉像是有人偷走了你的风头。
安库尔：并不是说人们没有关于怎么解唯一游戏猜想的想法，我敢打赌，如果给他们更多时间，那些蓝图会实现。我担心的另一件事是：我们失去了「一开始就努力走到那些解」的人类努力。数学不只是「我用现有工具能走多远」，是不是凸包、是不是子群，我不知道；但有时当解是人推动出来的，我们在过程中学到的东西多得多。
安库尔：所以我担心的是：这些伟大的、定义领域的里程碑问题，很多人一直在朝它们伸手，而决定性的进展出现了，结果一夜之间全部落地，于是人们失去了走那些路的热情。我会想：如果我们给了那些人空间去走那些路，我们还会发现哪些令人兴奋的东西？我提到的一件事：我们都在 MoMath 试着消化它，那里有很多很好的演讲。不是所有都上了 YouTube。有些是关于捐赠者和以他们命名的奖项的。
安库尔：我一直回到这个想法：你最初为什么做数学？是为了玩、为了了解世界。那一晚我们看到了它那么多种显现。
安库尔：因为有些奖项是以那些人的名字命名的——他们为什么给博物馆捐钱？因为他们想让自己的孩子有一个玩数学想法、了解世界的场所。那晚也是一个埃舍尔展开幕，那是多么好的一个视觉：当我们玩数学概念时会发生什么？所以我觉得，在这个时刻，在我们一起经历这一切变化、不知道未来如何、不知道 AI 与数学家的合作会是什么样、不知道招聘会是什么样的时候，非常重要的是记住：我们所有人入这一行，是因为我们非常好奇。
安库尔：我们想理解世界，而数学家非常擅长抽象：他们不只理解一小片，而是找到某种抽象、某组定义，结果在数学的另一个角落里强得不可理喻。所以我认为，无论未来如何，重要的是把我们的领域组织成仍然鼓励人们玩想法的地方。我不知道什么样的奖励体系会奏效，但当我看着这个领域里的年轻人、跟他们聊，他们有很多焦虑。
安库尔：他们听到很多故事——甚至是关于他们认识的人——跑各种 harness 去爬网找开放问题，尽可能多地把论文倒到 arXiv 上，把 arXiv 淹掉。我不知道那是不是一个好策略，看起来不是，但它肯定让我觉得不好玩。它不像是我们在玩想法、在了解世界，那很悲哀。我只想回到我真正享受的那些事情上。
安库尔：也许我还想补一点：这对很多人是一场严重的身份危机，因为有些人把自己看作解题者，而那让人很安心：你可以给自己做的问题、用的技术、在意的问题画一个小圈。那感觉很安心，因为世界其余部分是乱的，你戴着遮眼罩，「这是我在意的部分」。而我认为，现在正是取下遮眼罩的时候，因为我不觉得那是一种有产出的做法。
安库尔：我们喜欢玩、喜欢了解周围的世界。作为年轻数学家，重要的是记住问自己：你比你的好奇心更聪明，还是你比你的聪明更好奇？比什么都更好奇，这非常重要。
莱克斯：你提到「好玩」。也许还有另一个视角：从我这个外行的角度看，那些最有趣的时刻，当下感觉很像挣扎。我跟很多奥运金牌得主聊过，他们中很多人拿金牌之后会感受到某种接近抑郁的东西，因为你付出了一切，然后你意识到你付出的一切现在结束了。
安库尔：三十年前有一部关于安德鲁·怀尔斯的纪录片，里面有一个很棒的场景——我想他们甚至把它放在最开头——对着你这个金牌得主：赢了之后你要做什么？他坐在书桌前，描述他意识到解就在那一刻的情形——不是他最初那个有缺陷的宣布，之后许多个月他都在试图修正它，最后他终于看到该怎么做。他努力说出：「我这一生，再也不会有像那天在这张书桌前经历的那样的时刻了。」他哽咽了。
亚历克斯：他说不出话来。所以那——如果你按一个按钮、它就把解给你，你能得到那个吗？绝对不能。所以正如你们两位说的：旅程——你看到一座巨山，你说「总有一天我要爬到顶」，你开始训练，一点一点地做，然后一架直升机降落，直接把你放到山顶。你怎么看这件事？关于安德鲁·怀尔斯、也稍微关于格里戈里·佩雷尔曼，有意思的一点是长时间独自工作。你怎么看？在数学里，坐在那儿磨一个问题磨七年，这有多常见？
亚历克斯：到二十世纪之前，几乎每一篇写出来的数学论文都只有一个作者。现在数学里的中位数大概是两个，所以我们不是实验室科学。它真的是一个孤独的过程。不过，我给我研究生做的东西，跟我自己在做的东西，按设计就是不一样的。
亚历克斯：我想让他们有自己的领域。我想为他们打开门。不同领域不一样，对吧？当他们成功时，那真的应当是他们的成功——即便我某种程度上（有过想法），我有个想法觉得这能走下去，而他们执行了它，那也是他们的。但就坐在那儿——我一个月前发表的那篇论文，是我想了十年的东西。那是一篇五个作者的论文。那十年里我们做了渐进推进，直到终于有了一个解；而那篇论文是这样一个例子：这里有一个现象，而我不明白它是什么。它不是「这有个问题，解决它」。项目开始时，我们没法给你一个 Lean 的、形式化了的、需要 sorry 的陈述。
亚历克斯：这个陈述是你在一点一点凿这个问题的过程中发现的，直到你看到足够多，能说「它就是这样合起来的」。其实这让我想到：你能不能描述一下你思考非常困难问题时的思维过程？里面有没有一些有意思的方面，比如早上大量咖啡、夜里独自抽着雪茄沉思，或者跟人在白板前一起？有没有一些有意思的色彩、质地或洞见可以给我们？
安库尔：好。我很大程度上是在某种「世界模型」里思考。我对某个子领域里的结果是怎么走的有一个心智模型，而那很大程度上给我的周围领域染上颜色。所以我的工作里很大一部分，真的是在算法式思维与那些通常不被用同样算法透镜研究的问题之间搭桥。我想我刚做导师时犯过一个错误：给学生的问题百分之百在我自己的领域里。问题在于：当他们回来带着一个想法，我能非常快地把它打掉，我对了或者错了，但无论哪种，谁都不开心。
安库尔：后来我慢慢开始做的，是给学生离我自己领域十度、二十度的问题——那些我自己想更好理解的东西，那些我认为重要但我一直没时间坐下来读的论文——然后让学生把结果讲给我听。好玩的是我们一起走那个过程，不是把论文打印出来一行一行过，而是试着反向工程：我们为什么认为这个东西成立？细节那么多，而一旦你找到感觉，你就有一种它们应该能成的直觉。
安库尔：但至少在重要的论文里，会有一个、甚至不止一个关键想法，真正改变了你的视角：「哦，这真的也许做得到。」我发现：一旦我们开始试着理解这类结果中的一个，我们就会找到自己的看问题的方式，然后不久，我们就会发现另外一些问题，现在我们觉得它们可以做了，因为我们找到了自己组织思路的方式。所以我常常这样做：越早让学生坐在驾驶座上越好，不一定要有一个明确定义的问题——
安库尔：而是让他们教我点东西，让他们负责把这东西蒸馏、消化、抽象到它的本质。跟他们用那些并不字面为真、但帮我们弄清邻近领域该期待什么的类比来推理。那样一来，他们觉得自己带来了独特的视角，然后就跑起来了。所以对我来说，技术在很多方面只会促成这种工作，因为它意味着更丰富的一批问题变得可及。对我来说，当我在相关领域找到能用我自己的语言把事情讲清楚的专家，我会死死抓住他们，因为他们能讲福音。
安库尔：他们能告诉我这个领域是怎么组织的，并用我自己的语言解释。但现在我也有技术能这么做了，而这也有点悲哀：你失去了曾经在场的那个人的成分。我还觉得，学生现在对「发表会变成什么样」焦虑得厉害，而最难的部分之一是：我想一个项目时，真的是在一种多年的时间尺度上想，因为我有一个想实现的元愿景，比如我们怎么把学习理论的技术用到量子多体系统里？通往那儿有很多垫脚石，但最令人兴奋的一些问题要很多年以后。
安库尔：可学生太担心即将到来的 AI 海啸、工作的未来、全民基本收入——我们还有人会有工作吗——所以他们在三个月、六个月的时间尺度上想，然后就很难找到我们双方都在意的问题，因为——
史蒂文：因为我们在想不同的世界。
莱克斯：你不觉得我们应该鼓励他们继续长期思考吗？我理解——
史蒂文：哦，我确实这么想，但他们不总是听你的。我也不知道我对还是错。也许 AI 会解决我们所有的问题；但此刻真正值得我们做的，看起来只有那些多年之后我们仍然会在意的问题，你应该只做面向未来不会作废的问题。如果你在做的事情让你着急，因为你觉得下一代模型必然会解决它，那也许干脆去度假，别解那个问题。
莱克斯：好。你能不能谈谈你怎么想——你跟很多自然系统打交道。从这些自然系统里能抽出什么有意思的洞见？
史蒂文：我发现这里有一种张力：一边是极其专注地攻一个我要解的工程问题，那可以非常单一——你戴上遮眼罩，只想着这个问题；另一边是给自己那种心智上的自由，四处看看、只是观察、保持好奇。很多时候，你是在翻开一块石头、在它不是被你的全部注意力正面盯着、而是在你心智的一侧时找到解的。如果你用一个问题，通过你的余光去看它，有时你解出它的机会大得多。
史蒂文：所以对我来说，这是一个持续不断的平衡：一边是观察所有我不做的领域、所有我不理解的自然、所有我好奇的东西；一边是握有一些非常聚焦、绝不让步、绝不松手的问题。而且我——这一定对我们所有人都成立。我听过你们两位说的：那些你们握了很多年、几十年也没放手的问题。但想必它们是被你恰好从有趣的对话、有趣的东西里拾到的上百万条别的信息所滋养的。
莱克斯：你有例子吗？因为听起来「邻近领域」是个共同主题。你有没有例子：你心智里那种好奇的余光说「哦好，那是个有意思的系统，也许相关」，然后它真的变相关了，或者将来会？
史蒂文：对我来说，作为一个流体动力学家，生物学以及它那种凌乱和复杂——还有材料科学以及它的凌乱和复杂——在某种意义上是邻居，而且非常丰产。我从这两个领域学到很多，而我们为处理复杂性发展出来的很多基础数学，看起来确实能迁移。有时你只是看到某件事是可能的，或者你刚开始发展某个东西，就能解释我们此前不理解的东西。但我觉得对我来说，生物学、流体和材料有一个很有意思的共性：多尺度、非线性、凌乱、模糊的目标，那类东西。
莱克斯：顺便问，这个话题上：你觉得 AI 有没有希望在生物学那个凌乱的世界里有重大突破？
史蒂文：我当然希望，而且我认为有。生物里有大规模的努力在收集非常巨大的数据集、理解系统的复杂性——比如连接组，你拿到昆虫大脑完整的接线图。看起来我们会开始有别的动物的连接组，最终它会像基因组那样更便宜、更可及。
莱克斯：我有这种感觉：我们会发现——说到鸟的韧性——要理解人类生物系统怎么运作，你得顺着那根线拉，你得理解地球上整个生命是怎么出现、并作为一个整体机制运作的。它是全都绑在一起的。你没法复制——人类身上的事太离谱了。从一个细胞开始，这一整套东西就展开了。生命最初几天、几周、几个月里被构建起来的整个建造机制里内置的智能——我认为它可能比我们刚才谈的那些困难的数学问题复杂好多个数量级。
莱克斯：再说一次，我怀疑如果湍流很难，那么这里发生的一切——我说的不是大脑，而是大脑周围的流体、整套东西、免疫系统、全部——全都互相连着；而我跟几十亿年前这里的细菌的历史深深相连。我怀疑地球上整个生命机制的复杂性，比今天任何能被 AI 处理的系统都高出很多很多很多个数量级。只是个想法。抱歉。
史蒂文：不，我倾向于同意。
莱克斯：好。
史蒂文：我觉得你说得对。单是想象一个细胞内部所有的复杂性和尺度，那就不可思议——它是一座完整的城市，一整套基础设施。你的一个神经元里有垃圾回收、有发电、有信息处理——整套东西在每一个尺度上都超出我们可能的理解能力。你说得完全对。而我认为这正是它如此有意思的原因；它也和数学相关：找到那个我们至少还有希望的正确尺度，那里有某种我们能用来理解整幅图景的有意思的东西。我认为那非常迷人，而到目前为止，那一直是人类的事业：在这片复杂的混乱里找出那些有意思、可理解的部分。
史蒂文：而且——对，我觉得你说得对。
亚历克斯：我是说，自然世界里竟然有任何东西是可理解的，这本身就是奇迹，对吧？
史蒂文：对，绝对。
亚历克斯：没有理由认为牛顿定律可以用牛顿本人能描述的数学写出来，而且他还为了能说清「平方反比传播会给出椭圆轨道」而发明了微积分，解出二体问题，等等。所以宇宙说的是数学，这件事完全神秘。没有任何先验的理由让我们……我们并没有权利知道我们所知道的这一切。
莱克斯：这个问题我要道个歉，但这个宇宙逼着我问：考虑到今天的话题，你们认为数学是被发明的，还是被发现的？亚历克斯。
亚历克斯：这是那个古老的问题。我有一个非常实用主义的回答：在我看来，我们最终提出的问题，是「世界上正在发生什么」「以我们当前的知识状态我们能问什么」的函数。我们今天想回答的问题，不是欧几里得能想到的问题。在希腊、印度、中国，人们感兴趣的东西是不一样的。但答案——一旦你精确地提出一个问题，答案就是上帝决定的那个答案。所以我们的处境是：我们在发现那些我们自己所发明的问题的答案。
莱克斯：我们在发现答案……好。史蒂夫，你跟很多自然系统打过交道，看方程。方程想必总是对真实世界的近似。那么——数学是真的吗？
亚历克斯：你必须说是。
史蒂文：对。我们这里压力很大。
莱克斯：对。数学世界与真实世界之间的缝隙有多大？
史蒂文：小得令人意外。我觉得是出人意料地小。我其实很喜欢你的回答。我某种根本上认为，数学既是被创造的，也是被发现的。我们创造数学形式化系统来理解周围的世界，而那些近似有效得不可理喻。存在简单、紧凑的描述——F 等于 ma、E 等于 mc 平方——能描述我们在能观察到的所有尺度上观察到的一切，这是个奇迹。我们似乎能把某种简单的、数学的东西蒸馏出来描述它们。那感觉像是我们在创造；但「在一切之下存在某种简单、可推广的描述」这件事，看起来也是我们在揭示的。
莱克斯：你觉得那对我们是一个好的指引吗——去寻找那种美的简单？还是我们只是喜欢审美上令人愉悦的东西？
史蒂文：我认为对我们是一个好指引，因为我们从根本上就是简单的。我们脑子里只能处理那么多，只能想象那么多。我认为简单对人类与真实世界互动是必要的。好，如果我想稍微更深地进入「创造还是发现」这个问题：数字是个好例子，整数。我们所有人都根本上觉得，计数用的数是某种本质意义上的真实。我可以有一块石头、两块石头、三块石头，那就是石头的数量。那是一个真实的石头数量。但那些绝对是我创造的抽象。「一块石头」并不是一块石头，一块石头是一堆原子，另一块是不同的一堆原子。它们不是——并不存在「一块石头」或「两块石头」。数字真的存在吗？
史蒂文：我一直在跟这个问题搏斗。我不知道。我们真的相信整数是人类为了与我们观察到的东西的符号化抽象互动而创造出来的吗——量，以及——
亚历克斯：我是说，人类花了几千年才发现数字零。
史蒂文：对。
亚历克斯：然后是负数。在西方，负数其实是在复数被接受为一种研究机制之后，才被数学家接受的——这听起来很疯狂，但背后有一整套故事。
莱克斯：你跟无穷的关系是什么样的？它对你而言是真实的，还是只是证明里一个好用的东西？
亚历克斯：现代数学的很大一部分，恰恰是在认真地处理无穷，对吧？人们在数学教育里第一次真正撞墙，往往是在微积分，原因有好几个。一个是他们之前理解里的窟窿很多——几何考了八十一分、三角考了七十五分之类——那些都指向理解上的窟窿，而这一切会一股脑地汇到一起。
亚历克斯：……然后那块瑞士奶酪就，他们跨不过那个门槛。这是微积分的问题之一。微积分的另一个问题是：你第一次认真处理无穷。你得把无穷多个无穷小的东西加起来，得到一个有限的数，而且那个数还得说得通。牛顿和莱布尼茨那个时代的人，对无穷的理解不像我们今天。他们对它「应该代表什么」有直觉。但如果你读牛顿——牛顿在当时被嘲笑，因为他写的是「已逝量的鬼魂」——你得把零除以零——
亚历克斯：……还让它说得通，而且你不是在它们是零的时候做，你是在它们变成零之后做。他试图写这些东西的方式，在十九世纪变成了一场危机：柯西和傅里叶证出了相互冲突的定理。柯西说，你有一列连续函数，取连续函数的极限，你会得到一个连续函数，对吧？极限是连续的过程，连续函数是连续的，答案必须是连续的。傅里叶说：「我要把一堆正弦和余弦加起来。没有比正弦和余弦更连续的东西了，而我会得到一个锯齿波。你想要什么我就给你什么。我会在极限里得到一个不连续的函数。」他们把数学弄崩了。
安库尔：就是从那时候我们不得不开始面对——不再可以用牛顿、莱布尼茨、以及整个欧拉——欧拉那一千多篇论文——那种方式去想无穷了。在十九世纪，无穷必须被职业化。
莱克斯：所以结果是，数学此前已经被杀死过好几次了。
安库尔：对。而不知怎么的，那只是一道划痕。我们一年级博士生课程里的绝大部分，都是十九世纪那些危机的结果。那些危机里数学被摧毁，必须从头重建。
莱克斯：说到危机，让我回到安库尔刚才讲的 P 与 NP 的问题。你认为——证明它有多难？这是复杂性理论的中心问题：P 等于 NP。你认为 AI 能证明它吗？其实该提一句，你某种程度上是一个小组的成员。一年前曾有一场辩论：基于 LLM 的方法有一天能否在最难的数学问题上取得进展，比如 P 与 NP，或者黎曼猜想。那是一年前的事。所以你现在更新过的看法是什么？
安库尔：显然，它们能在——这个领域的中心问题上取得进展。P 与 NP 也许只是因为最贴近我的心，我觉得在那个问题上取得进展看起来非常困难。我们不懂的东西多得惊人：我刚才描述的那个关于可满足性的问题，我们其实不知道任何超线性的下界。我们认为它需要指数时间——比枚举所有可能赋值再检查快不了多少——然而我们连「比读一遍输入渐近地更耗时」这种结论都不知道。
莱克斯：嗯。我们应该提一句：你说了难和易。要用更技术的方式想「什么是难的、什么是易的」，该怎么说？
安库尔：好。这就是多项式时间对非多项式时间。NP 代表非确定性多项式时间，说清楚一点。所以问题是：那些你能用非确定性解出来的东西——比如猜一个赋值再检查它——能不能也在多项式时间里解出来。所以那里问的是：如果我给你一个公式的描述，我告诉你有哪些变量、它们出现在哪些子句里，存不存在一个算法，运行时间是输入规模的多项式，并且正确地判定存不存在满足赋值？
莱克斯：我们该提一句：多项式时间、指数时间、超线性时间，这些都指最坏情况分析。
安库尔：对。对。
莱克斯：那你能不能解释什么叫最坏情况分析，以及它有什么——
安库尔：坑。
莱克斯：对，我应该说它有什么坑，因为我觉得对外行来说有点反直觉：当我们说某个问题难的时候，你其实在说最坏情况。
安库尔：对。
莱克斯：这就像分析、我不知道、我不知道为什么这冒到我脑子里，就像婚姻。就像通过「最坏可能发生什么」来分析我该不该跟这个人结婚。我觉得在人际关系里，那也许不是个好策略。也许平均情况对做决定是更好的指引。反正我不知道为什么提这个。
安库尔：好，关于你该跟谁结婚，我没有任何建议。
莱克斯：这很好——对，复杂性理论不会给你。不过我想有——不是有一个约会，最优停止理论的最优——
安库尔：秘书问题。
莱克斯：秘书问题。它有很多不同名字——但确实有一种数学方式，有一个最优策略。
安库尔：那么首先，什么叫最坏情况分析？——
莱克斯：对，请讲。
安库尔：我刚才描述的是 SAT 问题，你要解的算法问题是：给定任意一个公式，判定它可满足不可满足。那里关键的是：当我要求解那个算法问题时，我并没有告诉你关于这个公式结构的任何更多信息。
安库尔：我没有告诉你这些子句有多大、它们长什么样、如果我把它们连成图会有什么拓扑。所以最坏情况分析关乎的正是这个前提：你可以通过忽略各个实例的大量细粒度细节来处理所有这些计算问题，并试着对一切可能的输入解它们。这一点极其强大，因为我们识别出了大量真的能在最坏情况下被解、而且能非常高效解出来的算法问题。
安库尔：比如求最大流。但问题是：那个抽象到底有没有用。有时候你也许真的需要更多了解你所面对实例的结构，才能解得更好，对吧？那真的是一个开放问题。这就是所谓「超越最坏情况分析」的领域，我会说，那是理论计算机科学非常重要的一个方向。难的地方在于：对自然问题，你该把什么说清楚，才是恰到好处的细节层次，让你的算法能用上它、能比最坏情况下做得更好。我们用一个例子：你刚提到秘书问题。
安库尔：它的运作方式是这样，它是所谓在线算法的一个例子。你有一串选项，从 1 到 N，每个时间步来一个；你的目标是：当某个人出现时，你知道她相对于你此前见过的所有人的排名，但你不知道她相对于还没来的人的排名。
安库尔：而你的目标是：当这个人出现时做决定——你是承诺，还是让她过去——好让你有很好的机会找到绝对最好的候选人。要点是：你其实能拿到常数竞争比的算法：最好的策略是先等待一段时间，不做任何决定、不接受任何人；一旦这个观察窗口过去，你就接受第一个比此前所有人更好的人。这给你很好的竞争比，意思是你能证明定理。假定输入以均匀随机的顺序到达，你做得大概不会比事先知道整个输入序列差太多。
安库尔：所以在在线算法里，有一层不确定性的面纱：我不知道输入序列会是什么样，我要不管那序列是什么都做好，因为我其实不知道怎么给那个序列建模。而现在你可以换个说法：「嘿，也许我推出的算法对我的应用不够好。我能不能通过更多地建模我周围的世界而做得更好？」于是就有了这样一门艺术：决定你该建模什么、该把什么建进模型、不该建什么。在我看来那是一个无比重要的探索领域。比如在线算法里另一个非常重要的变体：分页问题。
安库尔：你的笔记本一直在解这个问题：它收到一串请求，是它想从内存里取回的东西。问题是：它究竟该把什么放进缓存——那部分最容易访问的？问题同样在于你不知道那串请求事先长什么样。所以你可以研究这个在线算法问题：管理缓存的好策略是什么？某个东西被访问时，我得把它放进去，但我该淘汰谁？你可以设计算法，让它们的竞争比很好。
安库尔：它们未命中的次数，相比「如果有人事先告诉我那串请求、我可以只针对那串请求做优化」的最优离线解，不会差太多。这是个从八十、九十年代就被研究的问题。麻烦在于：你能给出的最好算法——我们知道紧的上界和下界——就是不够好。它们的未命中次数相对最优离线解差一个很大的因子，而那根本竞争不过你的笔记本现在实际做到的事，因为它在一天结束时真的很少有缓存未命中。
安库尔：所以你卡在这个问题上，它正好是数学思维与「试着给自然世界建模」之间的桥：真实的请求序列究竟有什么特点，让它们不是最坏情况？这其实现在是一个反问题，因为它是硬币的另一面。不再是别人交给你一个问题、你只要在最坏情况下解它、大家对表述方式有共识、我们知道哪个算法在竞争比上更好；现在你卡在这个非常模糊的问题上：我该怎么给我周围的世界建模？而在很多方面，算法式思维是必要的，用来弄清哪些建模方式是产出的。
安库尔：因为你不是要建一个完全真实的页面请求序列模型，而是：我该怎么以恰好正确的方式把这个问题的粒度变粗，使它导向有意思的算法问题，既教会我关于世界的东西，又迫使我为这些非常基本的问题设计新的路径。所以我会说：走出「我们只解定义良好的问题」这个空间，真正用我们的数学与算法洞见去弄清「一开始该在哪儿挖」，现在比以往更重要。它本来一直就应该重要，但在我看来，那会被推到聚光灯下。
亚历克斯：一个简单的例子：我们刚才谈因式分解。分解一个随机的大数是很容易的：一半是偶数。因式分解的意思是找到一个因子。所以真正困难的是那些非常特殊的数——两个质数的乘积，而这两个质数大约是原来那个数的规模的平方根。那才是因式分解，抱歉。
安库尔：这让我想到，你研究的东西之一是 LLM 的数学、AI 系统、神经网络，而它们在给自然世界建模这件事上非常非常强。你从中学到什么？首先：深度学习为什么有效？
亚历克斯：我们还有另外三个小时吗？
安库尔：你有——我们到底有没有直觉？在数学层面、在哲学层面，我们就在这中间，整个范围。我都不知道我们该怎么进入这个问题。好，这是个大问题。我试着把它切成几块，也顺便把我自己的看法压缩一下。在 OpenAI 那批问题里，没有任何一个结果解释了深度学习。
安库尔：里面没有任何一个结果解释了 LLM。我们知道的所有界里，没有一个「只要改进它就能突然解释深度学习」的东西。这些问题根本不是那样表述的。我真的会论证：深度学习理论里需要的东西，跟「更好地给我们周围世界建模」是手挽手的。如果我们去看深度学习在解的计算问题、LLM 在解的计算问题，其中一些非常难：把一个四层网络的参数拟合到数据上，是一个密码学意义上困难的问题。我们知道这一点。存在一些问题的实例，如果你真能在最坏情况意义下解出它们，那会改变我们对密码学的理解。
安库尔：然而这些问题每天都在被解决——当我们拟合远比四层更深的网络时。所以我会论证，其中很大一部分是自然数据有多好。就像物理里那句话：自然厌恶真空。我这一版的说法大概是：某种意义上，自然厌恶计算上困难的问题。而弄清为什么会这样、如何围绕你研究的问题类型画出一条边界，让它真正避开最坏情况下的困难性，那是一门艺术。九十年代有一个很有意思的例子：那时、以及现在，我们都非常关心蛋白质折叠。你可以用最坏情况的方式给它建模：我有一串氨基酸，我有某种基于不同潜在三维结构的能量函数，我想找到使能量最小的三维结构。
安库尔：这个问题在计算上非常难，然而自然一直在解它。为什么？有一个很有意思的实验：你从一堆氨基酸序列开始，试一些折叠成三维结构的启发式方法——这些方法在最坏情况下并不解这个问题，只是在某些情况下似乎做了对的事，随你怎么理解。然后只有那些真的折得很好的氨基酸序列活到下一代。
安库尔：随时间推移，结果是你造出了一批「在最坏情况下不难」的问题，而你发展出的启发式方法非常擅长解这些问题。
安库尔：所以在很多方面，自然总在折叠的那些蛋白质，它们的结构是什么样的？如果它们真的在最坏情况下难解，那么它们呈现的形状也许非常脆、非常易碎，受制于大量边界条件，使得那些东西的行为不完全可预测。所以在某种意义上，我们很多数据是以让这些计算问题更容易的方式演化出来的。所以我愿意这样想：你可以从 LLM 所解的优化问题来研究 LLM，可以用那种方式研究深度学习。而如果你从最坏情况看，你会得到非常难的问题，你只能跟人说：「它们很难。」
安库尔：「放弃吧。」但显然，不放弃是个非常好的主意。而我认为「是什么让这些问题变容易」，你无法从自然数据的结构里抽出来。我们的语言演化成让这些问题更容易，这件事与「LLM 为什么这样工作」是缠在一起的。所以我的看法是：做这个方向的人、以及理论机器学习的人，必须对建模的不确定性变得更自在。我们在数学系教很多研究生时，教他们怎么解定义良好的开放问题。
安库尔：但我认为，教人「怎么处理凌乱、不确定的东西」「怎么给它建模」「怎么批评模型」这项技能，是往前走的重要部分——不只是弄清理论研究是什么样，也许对应用数学更广泛地、乃至对数学更广泛地，都是如此。
莱克斯：尽管如此，它是不是仍然可能有突破？有一点我可能要稍微反驳一下，纯粹从公司动机层面：这就是人们谈的那件事，我认为 OpenAI、Anthropic、所有这些公司都在追的东西——自我改进的研究者。所以如果他们真的在 LLM 的数学上有突破，我敢说他们不会发表它，因为他们需要这些突破，对吧？所以这很有趣：因为从「AI 自我改进并推进」的实用角度看，那才是大突破。
莱克斯：所以那个问题有多难？你刚才指的，是在给自然世界建模上取得大进展、理解处理这件事的数学，从而拥有远高于人类智能的智能。
安库尔：好问题。我认为对齐是我们此刻面对的最重要的话题之一，对吧？而它非常难，不代表我们不会朝理解它取得进展。我最近做的一件事是关于所谓低秩语言模型——那是对语言模型一个非常简单的抽象——我们在证明新的算法保证。但后来发现，真实语言模型确实有那种结构，至少在近似意义上；我们就顺着这根线看这个想法能走到哪儿。它做到的一件很有意思的事，是照亮了所谓「潜意识学习」。
安库尔：这是一个你可以拿最喜欢的 LLM 做的很漂亮的实验。你拿两个 LLM，A 和 B。对 A，你给它一个系统提示说：「你非常喜欢猫头鹰。每个话题，只要沾得上边，你都要把猫头鹰带进来。」然后你问它一个具体的事，比如生成随机数。那里没法把猫头鹰塞进去，所以它会生成看起来随机的数字：四十八、三十七、八，随便。你可以拿这些随机数去微调另一个没有被给过猫头鹰提示的语言模型。你给 B 同样的基础提示「生成随机数」，然后微调它的参数，让它更可能生成 A 生成过的那些数字。
安库尔：结果发现，那些数字里藏着对猫头鹰的爱。你这么做之后，B 开始在每次对话里都提起猫头鹰，对吧？这非常神秘。这叫作潜意识学习：当我们用数据微调语言模型、想让它们朝不同方向走，好解我们想让它解的任务时，可能会有大量外部性——我们其实在教它们别的行为，而那些行为并不直接显现在数据里。那么，我们怎么理解这些行为之间的关系？当我们做对齐时会发生什么？它可能有什么下游影响？
安库尔：结果发现，我们工作中出来的一些数学模型至少让我们能抓住这件事的头绪。在高层次上，要点是：你把很多概念以线性方式嵌进某个高、但不巨大的维度空间里的向量。而概念的数量比那个数据的维度大得多，这迫使那些向量彼此并不完全正交。所以当你朝一个方向微调时，它对其他方向有小的外部性。这些看起来也许像随机，但你可以用某种方式协调它们，让这些小的线性效应真的加起来。我喜欢把它描述成通灵板。那是我小时候流行的东西。
安库尔：我们有非常古怪的桌游，因为我们就是想坐下来跟鬼说话。通灵板的大致想法是：你问鬼一个问题——也许是你的祖先——然后你按中间那块小板子，它会移动，从一个字母走到另一个字母，希望它能拼出回答你问题的词。要点是：当那些按压并不是真的随机、而是以正确的方式被协调起来时，你能让它拼出任何你想要的东西。
安库尔：那正是语言模型作为副产物在做的事：我们的数据结构里有很多统计关系，它们在那些了不起的能力（比如准黎曼猜想）之外，也被模型放大、增强。理解那些关系是什么、模型如何放大增强它们，对与这些系统共事真的重要——尤其是在我们部署它们、环境不是「输出一个我们在意的定理的 Lean 证明」这种非常安全的场景，而是一个真正与人互动、更凌乱的问题的时候。
莱克斯：对。我们谈过生命游戏和元胞自动机：从简单规则里涌现出不可思议的复杂性。同样地，你现在谈的是一个单一的大型 LLM 系统。你让那一个系统做大量推理，那本身已经是一个能与外部工具互动的动力学过程。现在你把它变成多智能体系统、或者非常多的智能体群，那你就有了某种生命游戏式的元胞自动机：那种被发现的对猫头鹰的执念——轻微的执念——在大概四小时里、在随便挑一个数的过程中，就变成所有人突然都死了、到处都是猫头鹰。
安库尔：而这一切都从随机数开始。
莱克斯：都只是随机数。所以我——这是漫画化，但我们已经看到这方面的证据。抱歉我把它讲到这么漫画化的地步，那让它显得不严肃。退一步说：这些系统确实有很大的力量，因为我们的世界太依赖身边的数字系统。而随着 AI 越来越强、对我们越来越有用，我们开始依赖它、给它更多权限、给它更多在公共世界里游走的自由。于是你现在开始得到元胞自动机式的效果：从简单的、痴迷猫头鹰的智能体里涌现出不可思议的复杂性，涡就出来了。
莱克斯：所以理解这种对猫头鹰的执念非常重要，好让它们不会意外地对我们这个文明造成大量破坏——我们的文明在很多方面、很多层面上、在社会学上、在地缘政治上、在技术上都是脆弱的。我们生活其中的这个文明相当脆弱。所以把它们当作能在规模上、非常迅速地行动的系统来理解，非常重要。那是一个很真实的理由，要求我们对这些系统保持严谨，尤其是可证明的严谨。
亚历克斯：但也正因为这个理由，我们并不想把那么多——几乎那么多——的决策外包给这些系统。
安库尔：对。对于安全攸关、影响重大的决策，我们已经有基础设施和协议：我们有 FAA，有美国医学会，有律师协会，来处理那些影响人类的事。而我认为，我们怎么把——
史蒂文：把 AI 纳入我们在整个世界上的通用流程，可以放在两个轴上。一个轴是我们有多信任输出，也就是可验证性或可信度；另一个轴是如果它错了、赌注有多高。如果 AI 吐出一个错误的证明，没有人会断电，没事，所以赌注很低。而它实际上极其可验证，你很快就知道对错；错了赌注也低。所以那是完美的用例：这个开放式的设计空间。设计更好的交通工具、更低阻力更省油的汽车设计。如果设计错了，赌注很低，因为你总能在风洞里测、验证它行不行。
史蒂文：所以那个设计优化空间对 AI 是完美的。而我们作为人类必须非常小心，不要渗过去——我们需要一道防火墙，界定什么必须被真正验证，我们有协议、有系统、有法律体系、有用于验证的基础设施。但这是我们必须思考的事。如果我们变懒——我们会——那是一个非常滑的斜坡。我们需要那道防火墙。
莱克斯：你认为此刻摆在我们面前最难的问题是什么？在数学里，或者对你来说史蒂文，稍微更宽一点、在数学之外？你认为哪个问题是未来一两年不太可能被解决的？
安库尔：我还是押 P 与 NP。
莱克斯：你这么想？顺便问，你觉得有没有可能结果发现 P 等于 NP？
安库尔：当然。一切皆有可能。
莱克斯：那个世界在你看来是什么样？
安库尔：那取决于算法运行时间是多少。它可能大到不实用，那样的话其实就没那么要紧了。
安库尔：它对理论研究更像一场海啸。不过，那看起来确实是一个非常重要、也非常难倒下的问题。其实我记得读研的时候，有过一次针对 P 与 NP 的尝试，某种程度上是半认真的。有些人开始传话说：嘿，它被解决了吗？我第一反应是：「不，它没被解决。」我记得我花了一个下午琢磨——那时候博彩市场还很新，所以它不让我对「P 与 NP 没被解决」下反向的注。于是我就改成押其他所有千禧年大奖问题，因为那看起来是个不错的对冲方式，毕竟当时的问题是「哪个千禧年问题会先被解决」。
莱克斯：嗯。但有没有可能 P 真的等于 NP？也就是说，我们对复杂性理论、对计算机科学、对算法有某种深层的不理解，而可满足性其实有快速算法。
安库尔：我觉得这里面有两条线，值得拆开。第一，至少到目前为止，看起来你总能制造出问题的困难实例，而我们把这用得很好，用在密码系统上。但确实看起来在实践中，很多问题比我们以为的容易得多。比如 SAT，它出现的地方之一是编译器和寄存器分配，而 SAT 求解器在解这类 SAT 问题上有效得惊人。我们其实不太清楚，是什么让那些问题相比密码学或其他领域出来的困难问题如此容易解。
安库尔：但有可能在实践中，我们以最坏情况建模的很多问题其实是秘密地容易的，而更难的部分是说清它们具有什么样的结构使它们如此容易；同时仍然存在一大片困难问题的来源，让我们能做很多事，比如用它建密码系统。在我们生活的这个世界里，那会是我的押注，但那只是猜测。
莱克斯：所以也许有某种办法能很快分类出「这个具体实例是容易的」，能很快识别出这是较容易的实例之一。就像一个整体，一个子集。
安库尔：有可能。这让我想起《安娜·卡列尼娜》的开篇那句：幸福的家庭都是相似的，不幸的家庭各有各的不幸。我的担心是：很多问题比我们以为的容易，但它们容易的原因非常不同。这不代表算法视角在分类、在给那些结构建立本体论上没有用。但我认为寄存器分配出来的那类 SAT 问题，跟其他领域出来的 SAT 问题非常不同，即便它们也可能容易。我只是觉得它们容易的原因非常不同。
莱克斯：所以对你来说，难的问题是 P 与 NP。如果它在未来几年内倒下，你会印象深刻——
安库尔：我会相当印象深刻。
莱克斯：亚历克斯，哪个难问题会让你印象深刻？
亚历克斯：我已经对准 RH 印象深刻了，但它不是 RH。很难想到一个更有标志性的问题，可以说这是数学里最难的问题之一。它存在了那么久，而且——
莱克斯：你怎么看那件事——抱歉，这让我想到佩雷尔曼的署名——佩雷尔曼说过什么？他说：「如果证明是对的，那我要的就是这份功劳。」他著名地拒领菲尔兹奖。你觉得他会怎么说？关于这次 OpenAI 的发布。
亚历克斯：我很难预测佩雷尔曼会做什么、说什么。我也不知道他会拒领菲尔兹奖，不知道他会拒领克雷研究所那百万美元，所以——
莱克斯：你总体上怎么看「拒领奖项」这件事？历史上也有几个人这么做过。奖项那回事——
亚历克斯：他是唯一一个拒领克雷奖的，还有那一百万美元。我怎么看？数学家是些怪人。
莱克斯：好。对。
亚历克斯：我们——各人有各人的活法。我们热爱观点与思想的多样性，而数学世界之所以如此美好，是因为有那么多不同种类的人，而我们让他们全都进来。
莱克斯：这些问题其实跟数学社群现在面对的东西、跟奖项的价值是绑在一起的。因为某种意义上，他那种世界观与数学社群正在进入的这个新世界观是对齐的：那个新世界是，这件事甚至都不再讲得通了。菲尔兹——我不知道以后还会不会有菲尔兹奖颁出。所以你会说：「我们正在进入佩雷尔曼的世界。」
亚历克斯：今年夏天菲尔兹奖颁奖时我们明确谈过这个。上一轮菲尔兹奖是在费城颁的，当时确实有一个问题，因为人们在跟进进展。那时还没有最近这一波进展，能把这个问题以最强的方式摆出来。但今年夏天我们已经开始想：「这是最后一次颁菲尔兹奖吗？」我当然希望不是。但我们得弄清那意味着什么。你得从更社会学的角度去想：奖项到底达成了什么？为什么要有这些奖？
亚历克斯：拿这些奖的人本来就已经是顶尖地方的终身教授，他们余生都会继续做数学。而佩雷尔曼是一个非常——
莱克斯：对，例外。
亚历克斯：……非常著名的例外。所以奖项达成了什么？它们庆祝这项活动，它们在说：「这是我们认为重要的东西，这是某种东西的最高范例。」而仍然会有我们想庆祝的活动。我不知道现在这些奖项是不是还发给「解决重大问题」——解决重大问题，是 AI 系统能做到的事。那不会是稀有的，因此它不会像过去那样有价值。我愿意认为——尽管我们前面谈过已解公理，再说一次，我不相信它——我相信半人马数学会是一个非常好的——
莱克斯：半人马数学，好。
亚历克斯：——做数学的方式。至少我现在就是这么感觉的。我一直在跟 AI 系统对话，我学数学比我自己能做到的快得多。因为数学的写法——我有时把一篇论文给研究生读，一周后他们回来，我说：「你读到哪儿了？」「嗯，说实话我没过第一页。」「哦？说说。」「呃，其实我没过第一段。」我说：「好吧，为什么？」「因为第一句是『由非局部系统的微扰理论』，我完全不知道那是什么意思，所以我卡在那儿了。」我说：「好。你不知道怎么读数学论文。你不知道——你会跳过前两段。」
亚历克斯：直接跳到第三号引理。「从那儿你可以开始工作，往回推出这个东西在干什么。」但将来不会再有「我不知道这是什么意思」，因为你只要把它上传给一个 LLM，开始向它提问，它就会锁定到「最近发展区」——那里有你知道的一切，以及下一句你需要听到的话，于是你开始学习。如果人们有效地用它，就能真正给教育加超速。我说的不只是孩子，也包括像我这样的老家伙，可以学新领域。要学一个领域，这就是我们研究生在经历的事：他们必须把大脑彻底重接一遍。学数学仍然很难。
亚历克斯：一直到硕士以上、进入博士阶段之前，没人要求你产出新的数学理论。它们能做的一切，都是某本教材里写着的东西。然而对人们来说，学会解那些很多人都能解的问题，仍然极其极其困难，更不用说那些还没被解决的问题。所以学数学很难，学新数学更难，发现数学、把数学问题的解做出来，都难。但我认为它会变得更容易，而这个工具会成为一个了不起的资源，让人能更快到达那个最近发展区，更快发展自己的理解。
莱克斯：对，我最近在那些我根本不……的话题上玩得非常开心。我很想带着现在的工具回研究生院。但我脑子喜欢的一种学习方式是构造可视化的例子、玩具例子——仍然包含那个洞见的最简单例子，尤其是可交互的。比如如果我能移动东西，你会立刻明白。社群约定那些词有特定含义，你应该知道所有记号之类。如果我能知道这个小符号表示这个，哦好，然后一切都各就各位了。
莱克斯：而且你会爱上这个主题，我感觉我能接住任何完全在我领域之外的问题。比如我能理解蛋白质折叠：我可以玩那些参数，玩。我可以拿一篇 DeepMind 的论文，通过取它任何一个方面来玩、来真正理解——简单例子是什么？问那些前面提到的疯狂的「抽嗨了」的问题。所以是，这非常好玩。问题是人们会不会有动力去学。这是问题所在：人的动机问题。那才是真问题。
史蒂文：关键配料是好奇心、提出好问题、以及能喊「这是胡扯」——
史蒂文：……还有那种批判性的「顾问」技能：在你并不是专家的地方获取信息，并知道你是否需要挖得更深或者反过来质疑。我认为永远会有好奇的和不好奇的人、会提好问题和不会提的人。我们需要比以往任何时候都更大力地推广这件事。让我有点害怕的是：我们在指望本科生、年轻学生在学习时就跟这些工具互动，而他们的大脑还没完全成形。我们在要求他们不仅有批判性推理能力，还要有顾问技能：你怎么吸收信息、判断它是否真实，或者如何去质疑它？这对我们教育来说是个巨大任务——
史蒂文：……怎么在孩子时就训练出好的顾问技能？
莱克斯：对，我认为最难的问题不是本科，最难的是初中，因为……作业是从哪一点开始变难的？在那一刻，为什么要做作业？
史蒂文：就是那种诱惑，对吧？
莱克斯：那东西就会……起初我说，你看，我已经体会到做困难事情的价值，因为那些痛苦，但我觉得那是因为我被逼着做。如果你不是被逼着做，因为 LLM 可以、AI 可以直接帮你，我不知道那会造出什么样的社会。
亚历克斯：但数学在这个问题上领先最久，因为计算器大概是七十年前出来的，而我们仍然让孩子背乘法表。至少我们中有些人还在这么做；而那些说「不，孩子不需要背乘法表」的人，在老师听信了、孩子听信了、于是没学的程度上，他们真的受了很多苦。有人说「你不需要知道乘法表，计算器能做」，那造成了大量人类苦难。我希望我们能从中学到东西：正因为计算器能做，你能自己做会好得多。这不意味着如果我需要算点什么，我不会去拿计算器。
亚历克斯：但原则上我自己能算，那才是每一次你给自己这项技能、掌握一项技能的意义。孩子热爱掌握技能。他们第一次学会系鞋带时有多开心？你会以为「不就是鞋带吗，谁在乎」，不，那是世上最了不起的事。你会想庆祝每一点独立，你会想要能思考。你想要独立于机器。机器能做某件事，不代表你不想要自己也有这个能力。
莱克斯：这里我必须问：很多人内心充满焦虑。我们提过研究生、博士生、本科生、高中生。你会给什么建议——也许对不同层级的人建议不同——给那些正想弄清自己这一生该做什么的人，给现在正在惊慌的博士生？有没有一些智慧可以给他们？
亚历克斯：每个尺度上都有不同的东西。我从数学的博士生说起。纯数学的博士生，我的建议很简单：做我们一直在做的事。学你的脑子能承受的最难、最抽象的数学，尽可能多学。你的导师但愿会在这个过程中引导你。然后再往下走一级：我们在本科层面看到的是一种双峰分布。过去成绩基本是高斯分布，现在我们看到非常明显的双峰：一边是那些用 AI 来检查自己理解的孩子——「等等，我没懂——教授课上说了这个，那是什么意思来着？」
亚历克斯：「我要考试了，这是我过去三周的笔记，开始考我，看看我是不是真懂。」这些孩子的成绩高得多。另一边是那些「哦，这份作业一小时后就交，你直接把答案告诉我就行，我用我自己的话写下来」。于是作业的进展和考试之间失去了相关性，我们看到的正是这种双峰分布。我不知道你们是不是也看到同样的情况。
莱克斯：所以隐含的建议是：去做那种用 AI 来学习、来成长的人——
亚历克斯：做分布的头，不做尾。
莱克斯：对。对。
史蒂文：你介意我们休息一下去洗手间吗？
莱克斯：好，好，好。
史蒂文：我们不知怎么把「智能」弄成了至高点，几乎把智能等同于道德。
亚历克斯：对，或者等同于价值。
史蒂文：以及价值。而我认为那离真相再远不过了，对吧？超级智能并不蕴含超级道德，而我认为这正是 AI 系统的一个巨大隐患：即便它们超级智能，也完全没有含义说它们会超级有道德。我觉得——
亚历克斯：对。而且我们这些年来一直推着孩子去上大学——
史蒂文：一直如此。对。
亚历克斯：……而且每个人都必须去，对。
史蒂文：不管他们学什么、结果如何。而超级智能似乎给了你一种超级的「合理化」能力；而常识——农民和世界上其余的人——他们有一种感觉：那种合理化常常是胡扯。仅仅因为你能把它讲得非常好听、我驳不倒它，并不意味着它是对的。
亚历克斯：对。教育与智慧是两件不同的事。
史蒂文：对，完全正确。
莱克斯：我知道这很难回答，但也许史蒂文，你对研究生、大学生、也许小孩子，在这个变化疯狂快的时代该做什么，有建议吗？
史蒂文：一定要保持好奇，去读、去学所有的基础。我认为那一直是好建议。即便你的电脑线性代数比你算得好，你也仍然应该学线性代数、建立直觉。微积分一样，物理一样。我认为理解历史、并把这次变化放进人类历史上发生过的其他伟大变化的脉络里，是重要的。但真正的核心是保持好奇。
莱克斯：我得说，脑子里这份好奇心，一直在被注意力经济不停偷走。让你好奇的那台引擎，和让你末日刷手机的是同一台。所以我认为你必须学会如何避开所有这些分心，专注让好奇心真正去探索一样东西、把东西吸收进来，真正学会一样东西。而 AI 其实很擅长做这件事，因为它的激励是「从这次交互里给你价值」，而不是「让你黏在这个东西上」。我不知道高中、大学里的人，在手机就在旁边的时候怎么活下来。那个分心盒子就在那儿。所以要避开分心，深度专注。
史蒂文：我们小时候都有无聊的时候。我认为无聊非常重要。
莱克斯：非常重要。
史蒂文：真正地无聊——好奇和专注常常来自无聊。我希望自己更常无聊一点，我有时会试着这么做。
亚历克斯：对，我们放学回家，五秒钟写完作业，然后就出门。
史蒂文：对。
亚历克斯：你希望碰上其他也刚出门的孩子，然后你们一起去找点事做，晚饭时间才回家——
莱克斯：对。你不会意识到，其实高中那几年、甚至更早，某种程度上本科也是，但越来越难。而高中真的是一段很适合把什么都学一学的时间。你至少会想——我记得，我不知道现在什么样，但我觉得现在甚至更有意思——你会想：「好，等我长大了，我就能在这个世界上真做点有用的事。对，我现在在学习，这很好。」但你会意识到，从「人生是否充实」的角度、从为一段了不起的人生打地基的角度——你以后会记得这一切——这就是该做这件事的时候。而整个世界都在逼着你做，而且只要你坐在那儿学，它就会奖励你。
莱克斯：因为等你往后走，甚至到了研究生院，这种探索性的东西就开始被打击；要是你万幸拿到教职，那就更会被打击，不让你只是学、只是探索。所以探索的时机就是高中。
亚历克斯：顺便说，还没拿到终身教职的教师，总有一种「哦，等我拿到终身教职，我就可以坐下来放松、想大问题了」。但我得先产出足够多的东西才拿得到终身教职。而这不是我们想让年轻人做的事——一路往上扒。
莱克斯：安库尔，你对学生有什么建议？
安库尔：最后说的麻烦在于，我觉得我很多建议已经被说掉了，「保持好奇」肯定是其中之一。
安库尔：现在我要说：为内在的理由做事也很重要。我注意到的一件事是：我们这个行当里很多人，很多走学术路线的人，有时做事的理由其实是很外在的自我定位，因为他们通过别人怎么看自己来衡量自己的价值。那足以让你起步：也许你开始拼命做数学，好让人对你印象深刻，对吧？但某个时刻，你会把这些里程碑用光，没有下一个可以打了，那时你真的必须有一个内在的理由去做你做的事。希望你对自己看重什么、你的价值是什么有感觉。
安库尔：所以我觉得，如今你可以采纳我们「保持好奇」这类建议，但同时旧的剧本真的被扔出窗外了。你可以采纳我们高层次的建议，但剩下的得你自己弄明白，而且你得能跟不确定性共处。我知道的应对这种不确定性的唯一办法，是有一份目标感——你认为什么重要、你热爱你工作的哪一部分，并确保你做的事就是那些。因为如果你只是守着旧剧本，最后你会拿上所有 AI 生成的证明，把所有时间都花在把它们贴到 arXiv、投给期刊上。我不认为那是任何人进入这一行的内在理由——真的不是去填充自己的简历。
安库尔：我不知道将来什么会重要，但如果你真的有一个你相信的更高目标，那我认为你会处在好得多的位置，去适应变化的世界、弄清你自己的蓝图，并在世界变化时与不确定性共处。
莱克斯：这个问题更难一点，但很多听这期的人对未来感到大量焦虑和恐惧。既关于工作，也关于「未来是否还有意义」。你们能不能回想自己人生中那些不确定、焦虑的时候？对一个正处在低点的人，你能给什么建议？
安库尔：那我来——对，我试着回答这个问题。这是个很难的问题。我讲个小故事：我们休假那年住在湾区，住在帕洛阿尔托，那里可以说是大学压力的震中。你能感觉到它。你去咖啡馆，它就在水里——那时候。你现在做什么课外活动——
安库尔：……才能帮到你？然后我刚回 MIT，他们就请我在开学典礼上讲话，琢磨那篇讲话很有意思：面对整个礼堂的新生和他们的家人——如果一切都是一场「如何让十七岁的你在纸面上看起来更好」的优化游戏，他们已经赢了——你要说什么？我一直想着我在同样处境里、刚开始上大学时有多兴奋，就为了学这些不同的东西。我会坐在那儿规划我的四年，我有小本子，算我要上哪些课；如果我按恰好正确的顺序选课，我大二就能修光子学。
安库尔：我完全不知道光子学是什么，但它听起来很好玩、很高级。我觉得这个方面——我们社会现在太多东西都朝着「赢」和「纸面上好看」去了，我总在想，图什么？你从高中开始，一进门就可以开始优化你的 AP 和课外活动，好进一所精英学校；进了精英学校，你可能逃课，因为也许重要的是准备面试，好进一家前沿实验室，然后拿到不错的受限股票，然后过完一生。那很棒。你每一关都赢了。但那又怎样？
安库尔：对我来说，过一种丰富而充实的生活最好的方式，就是假装你已经赢了，然后想清楚在那个情形下你会做什么。我记得我刚开始在 MIT 做教职时得到的建议。桑吉夫·阿罗拉告诉我：「拿到终身教职最容易的方式，就是假装你已经拿到了，然后做你一直想做的事。」
史蒂文：完全对。
安库尔：我不知道这个建议适不适用于研究生、也适用于高中生，但我的建议是一样的：假装你已经有终身教职了。你现在会做什么？因为我们给建议的很多人真的有太多不同的机会。找到你真正相信的东西，是我所知道的唯一能让人充实的办法。
史蒂文：我从一位我尊敬的人那里听过一条职业建议：一份充实的职业，是你能在一个重要、你觉得有意思、而且你擅长的问题上工作。如果你能拿到三条里的两条，你已经很幸运；如果能三条全拿，你余生都会幸福。所以要有正确的准备，弄清你擅长什么、什么有意思、什么重要，然后把自己准备好。你不保证能拿到那三条，但机会来的时候你要准备好，然后继续做你真正享受的事。我认为那是很好的建议。
莱克斯：我认为我们也该放到语境里、并且诚实一点。你给的很多建议都适用，但我们该诚实：我面前坐的是三个世界级的大脑，他们找到了自己的路。这是幸存者偏差。所以，听这期的人里有很多——他们相当确定自己找不到自己的路。那是恐惧、是焦虑、是不确定。是跌了很多次。公平地说，我认为一些最有意思的人，恰恰在人生里跌得不少，无论是外部环境还是内部的，无论宇宙带来什么。而在这一点上，我知道现在有很多人正因为 AI 对我们社会做的一切而感受着、注视着这一切。
莱克斯：有很多人就是恐惧、非常焦虑。我认为安库尔说的里面有很多智慧。你可以被那种恐惧瘫痪，也可以想象：「我已经赢了。一个已经赢了的人在这个情形下会怎么做？」那会缓解恐惧。它其实给了你在不确定性下的最优路径——在高度不确定、在大量不确定下。而且不要用旧剧本。试着成为那个弄清新剧本、下一本剧本怎么写的人。我想马克斯——马克斯·泰格马克，我跟他聊过很多次，因为他是个野人。他职业生涯里做过很多古怪而美丽的事，但他也做过主流的事。
莱克斯：他说你得两边都做一点，这样你才不会——你仍然在系统内工作足够多，好让你是这个社群的一部分、是那个流动的一部分（在他那里是科学与事物的发展），但同时也做足够多叛逆、野、古怪的事，来铺自己的路，两者兼有，并找到那个平衡。不要害怕自己有点怪，但也要变得非常娴熟、擅长成为社群的一部分、成为社群里受尊重的一部分。所以两者都要。就像汤姆·威茨说的：「我喜欢我的汤姆带一滴毒药。」就是一点点怪，或者有时很多怪，才会造出一些美丽的人。
史蒂文：我认为「社群」那一部分在未来会变得更重要。我们做了大概三十年实验：用机器到底能做多少事。既然我们现在能用机器做非常多的事，我的希望是我们会意识到，我们其实更喜欢跟人一起做事。我们更喜欢飞过去、面对面聊一次。我们更喜欢口头讨论，而不只是读一篇论文。我认为我们的日常经验有一个峰值……我是说，是的，我从科学工作和学术生涯里得到很多充实，但回家看孩子、去海滩——如果费马大定理被解决了——只是跟他们扔球，那没有任何东西能比。那才是我生命的意义。
史蒂文：另外那些东西是上面的樱桃，但基础是家庭、是人——是待在我关心的其他人身边。
莱克斯：而我认为，随着 AI 把智能越来越商品化，我们会越来越意识到：智能、以及我们解出的所有那些谜题，只是上面的一颗樱桃，或者旁边的一颗樱桃。真正主要的是我们生命里的其他人。我无法跟你们形容，你们亲自过来聊这一场是多大的荣幸。我已经成了你们三位的大粉丝。这感觉有点不真实，今天能跟你们聊天是很大的荣幸。这真的非常有趣。非常感谢。非常感谢，安库尔、史蒂夫、亚历克斯。这太棒了。
史蒂文：谢谢你请我们来。
安库尔：对我们来说也非常有趣。
史蒂文：谢谢。对。
安库尔：谢谢你请我们来。
史蒂文：这很棒。
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