微分与近似：用切线估计函数的微小变化 (2026)

导数算出来以后，最直接的用法不是马上做复杂应用，而是回答一个很朴素的问题：

x

只动一点点，

y

大概会动多少？微分给的答案是：先别急着重算函数值，沿着切线走一小步，通常就够准。

直觉铺垫：曲线在很小范围里像直线

假设你站在曲线

y = f (x)

的某个点

x = a

上。放大这个点附近的图像，曲线会越来越像它在这个点的切线。线性近似就是把这条切线拿来当函数的近似：

L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)

Paul's Online Notes 把这条切线称为

f (x)

在

x = a

附近的 linear approximation，并提醒：离

a

越近，近似通常越好；离得远，误差就可能变大。1

微分里最容易混的 3 个量

先把符号分清，后面计算就顺了

dx	自变量的一小步
dy	切线预测的变化
Δy	函数真实变化

통계 카드를 불러오는 중…

精确定义： $d y = f^{'} (x) d x$

对函数

y = f (x)

，把

d x

看成自变量

x

的一个微小改变量，对应的微分定义为

d y = f^{'} (x) d x .

如果只写函数

f (x)

，也可以写成

df = f^{'} (x) d x

。Paul's Online Notes 在微分章节中给出同样的关系，并用它来近似函数的真实改变量。2

真实变化量是

Δ y = f (x + Δ x) - f (x),

而微分给出的近似是

Δ y \approx d y = f^{'} (x) Δ x .

这句话的意思很具体：把曲线从

x

到

x + Δ x

的小段，暂时看成切线上的一小段。

自制示意图：橙色曲线在取点附近可以用蓝色切线近似，

d x

沿横向变化，

d y

是切线给出的纵向变化。

例题 1：用微分估计真实改变量

已知

y = x^{2}

。当

x

从

3

变到

3.02

时，估计

y

的变化量，并和真实变化量比较。

分析思路：这里

Δ x = 0.02

。先算导数，再用

d y = f^{'} (x) d x

。

y^{'} = 2 x .

在

x = 3

处，

d y = 2 \cdot 3 \cdot 0.02 = 0.12.

真实变化量是

Δ y = (3.02)^{2} - 3^{2} = 9.1204 - 9 = 0.1204.

所以

d y = 0.12

，

Δ y = 0.1204

。误差只有

0.0004

。这就是「局部像直线」的计算版：

x

只动了

0.02

，曲线的弯曲还没来得及显出太大影响。

例题 2：用线性近似估算 $4.1$

取

f (x) = x

，在

a = 4

附近近似。因为

f (4) = 2, f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}, f^{'} (4) = \frac{1}{4},

所以线性近似为

L (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4) .

于是

4.1 = f (4.1) \approx L (4.1) = 2 + \frac{1}{4} \cdot 0.1 = 2.025.

计算器给出的真实值约为

2.0248457

，近似值已经很接近。这里不是因为

x

很简单，而是因为

4.1

离

4

很近。

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图里能看到，

x = 4.1

时两条线几乎贴在一起；到

x = 6

，切线还按固定斜率往上走，曲线已经弯下去了，误差自然变大。

常见误区

把 $d y$ 当成永远精确的 $Δ y$ 。 只有函数本身是一次函数时，切线和函数完全重合， $d y$ 才等于 $Δ y$ 。一般曲线只能说 $d y$ 近似 $Δ y$ 。
忘记在指定点代入导数。 做近似时用的是 $f^{'} (a)$ ，不是随便写一个 $f^{'} (x)$ 就结束。
离基准点太远还硬用线性近似。 线性近似的好处是快，限制也是快：它只记住了取点处的斜率，没记住后面斜率怎样变化。

记住一句话就够了：微分不是把曲线变成直线，而是在一个很小的范围里，用切线替曲线算一笔近似账。

微分与近似：用切线估计函数的微小变化

直觉铺垫：曲线在很小范围里像直线

精确定义： $d y = f^{'} (x) d x$

例题 1：用微分估计真实改变量

例题 2：用线性近似估算 $4.1$

常见误区

참고 출처

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每日高数一讲 08｜等价无穷小替换：什么时候能直接换？

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直觉铺垫：曲线在很小范围里像直线

精确定义：dy=f′(x)dx

例题 1：用微分估计真实改变量

例题 2：用线性近似估算 4.1​

常见误区

참고 출처

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精确定义： $d y = f^{'} (x) d x$

例题 2：用线性近似估算 $4.1$