参数方程求导：先分别对 t 求导，再相除

如果曲线不是写成 ，而是写成 ，切线斜率仍然问同一件事：当横坐标 发生一点变化时，纵坐标 跟着变多少。参数方程只是多了一层中转站， 和 都先跟 走。Paul's Online Notes 把参数方程写作 ，每个 对应平面上一点 。1

把 想成时间。一个小球在平面上运动， 记录它左右移动的位置， 记录它上下移动的位置。若某一刻 每秒增加 6 个单位， 每秒增加 2 个单位，那么从图形上看，纵向变化和横向变化的比例就是 。

所以参数方程求导的核心不是单独看 ，而是把「纵向速度」除以「横向速度」。Paul's Online Notes 在推导中由链式法则得到公式 ，条件是 。3

设一条参数曲线由

给出，并且在所讨论的 处 。这时曲线在对应点的切线斜率为

这个式子仍然来自链式法则：如果局部能把曲线看成 ，而 ，那么

只要 ，移项就得到上面的公式。注意，结果通常还是 的函数；要算某个点的斜率，还要先确定这个点对应的 值。

已知

求 处的切线方程。

先求点坐标：

再分别对 求导：

于是

代入 ，斜率为

过点 且斜率为 1 的直线是

所以切线方程为

已知

求曲线在点 处的切线斜率。

这里不能直接把 代进公式，因为公式里的自变量是 。先由点坐标找 ：

又因为

所以点 对应的是 。

分别求导：

因此

代入 ，切线斜率为

如果还要求切线方程，就写成

记住一句话就够：参数方程求导不是「对 求导」，而是先分别对 求导，再用纵向变化率除以横向变化率。