2026. 6. 21. · 08:10
高阶导数：对导数继续求导，看变化率怎样变化
第10期。用速度与加速度建立高阶导数直觉，讲清二阶、三阶、n阶导数的定义和记号，并用多项式与复合函数两道例题演示连续求导的步骤和常见误区。
前面几期里，导数回答的是「函数在这一点变得有多快」。高阶导数再往前追一层：这个变化率本身又在怎样变化。如果把 看成一个新函数，只要它还能求导，就可以继续求 、，一直写到 。这种「对导数再求导」的结果，通常统称为高阶导数。1
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直觉铺垫：速度再变化，就是加速度
最容易理解的例子是运动。设 表示物体在时刻 的位置，那么 表示速度；速度本身如果还在变化，它的导数 就表示加速度。OpenStax 在讲导函数时也强调：导数可以作为新的函数继续研究，函数 的导函数 给出原函数在各点的导数值。2
所以，高阶导数不是新规则，而是旧规则重复使用。第一次求导看「斜率」，第二次求导看「斜率变快还是变慢」。在函数图像里，二阶导数会和图像的弯曲方向联系起来；这个应用后面讲函数单调性、凹凸性时会正式用到。
精确定义与记号
设函数 在某区间内可导。如果 也可导，就把 的导数称为 的二阶导数：
如果 还可导，就定义三阶导数：
一般地， 阶导数记作：
| 阶数 | 常用记号 | Leibniz 记号 |
|---|---|---|
| 一阶 | ||
| 二阶 | ||
| 三阶 | ||
| 阶 |
从四阶开始，一般不用一直加撇号，而写成 、。注意括号不能省： 表示二阶导数，而 通常表示 。这个区别在高阶导数记号里很容易出错。1
例题 1：多项式会在有限步后归零
求 的前六阶导数。
分析思路： 每次求导都用幂函数公式 。指数每求一次少 ，系数不断乘下来。
逐步计算：
结论： 是五次多项式，求到五阶时变成常数，再求一次就归零。更一般地， 次多项式从 阶开始恒等于 。1
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例题 2：别忘了每一步都要重新套规则
求 的二阶和三阶导数。
分析思路： 这个函数不是单纯的 和 ，里面有 、。每求一次导，都要重新使用链式法则。
第一步：
第二步继续求导：
第三步再求导：
结论：三角函数的符号会循环，但内层系数会一层层乘出来；指数项 也不会「不变」，因为内层是 ，每次求导都会多乘一个 。
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常见误区
- 把 看成平方。 有括号表示二阶导数，没有括号的 才常表示函数值平方。
- 只在第一步认真，后面凭感觉写。 高阶导数没有省略步骤的特权。上一阶变成乘积、商或复合函数时，下一阶就必须重新套对应法则。
- 以为所有函数都会循环。 、 的导数有四步循环，但 、、 这类函数一般不会这么整齐。
高阶导数的本质很朴素：先求一阶，再把结果继续求导。今天先把记号和计算步骤练稳；下一步，二阶导数会开始帮我们判断函数图像的弯曲方向。
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