定积分的定义：把无数个小矩形加到极限 (2026)

上一期我们把求导公式倒过来，学会了写不定积分。今天换一个问题：如果只关心曲线从

x = a

到

x = b

这一段累积了多少，答案就不再是一族函数，而是一个确定的数。

直觉铺垫：先把曲线下方切成小矩形

把

y = f (x)

在区间

[a, b]

上画出来。最粗糙的做法，是把这段区间切成几小段，每段宽度记作

Δ x

，再在每小段里取一个点

x_{i}^{*}

，用

f (x_{i}^{*}) Δ x

近似这一小段的面积。所有小矩形加起来，就是一份近似值。切得越细，矩形顶边和曲线越贴近；当小矩形宽度趋近于

0

，这个和的极限就是定积分。Paul's Online Notes 对定积分的定义正是把黎曼和取极限：

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x

。1

定积分先抓三件事

看到一个定积分，先把符号翻译成这三句话。

积分区间	从 a 到 b
矩形高度	f(x_i*)
矩形宽度	Δx

統計カードを読み込んでいます…

以

\int_{0}^{1} x^{2} d x

为例，用右端点作矩形高度时，矩形越多，近似值越靠近精确值

1/3

。

チャートを読み込んでいます…

精确定义：定积分是一个极限

若

f (x)

在

[a, b]

上连续，把区间等分成

n

份：

Δ x = \frac{b - a}{n}

在第

i

个小区间取一点

x_{i}^{*}

，则

\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x

这里

a

叫下限，

b

叫上限，

[a, b]

叫积分区间；

d x

提醒我们沿

x

方向切片。定积分的结果是一个数，不是

x

的函数。若曲线有一部分在

x

轴下方，定积分算的是净面积，也就是上方面积减去下方面积。Math Is Fun 对这个点的解释很直观：曲线在轴下方的部分会以负值计入。2

符号	读法	含义
$\int_{a}^{b}$	从 $a$ 积到 $b$	只看这段区间
$f (x)$	被积函数	小矩形的高度来自它
$d x$	沿 $x$ 切片	小矩形宽度趋向 $0$

例题 1：用定义算 $\int_{0}^{1} x d x$

分析思路：用右端点。第

i

个右端点是

x_{i} = \frac{i}{n}

，每段宽度是

Δ x = \frac{1}{n}

。

于是黎曼和为

i = 1 \sum n f (x_{i}) Δ x = i = 1 \sum n \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n i

利用

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，得到

\frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2 n}

取极限：

\int_{0}^{1} x d x = n \to \infty lim \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2}

这和几何图像一致：

y = x

、

x = 0

、

x = 1

围成一个直角三角形，底和高都是

1

，面积就是

\frac{1}{2}

。

例题 2：为什么 $\int_{- 1}^{1} x d x = 0$

很多同学会说：明明有面积，怎么会是

0

？原因是定积分算净面积。

在

[- 1, 0]

上，

y = x

在

x

轴下方，对应的面积按负值计入；在

[0, 1]

上，

y = x

在

x

轴上方，对应的面积按正值计入。左右两块三角形大小相同，符号相反，所以

\int_{- 1}^{1} x d x = 0

如果题目问的是「曲线与

x

轴围成的总面积」，那就要把两边面积都当正数加起来，答案是

1

，不是

0

。

常见误区

把定积分当不定积分。 $\int f (x) d x$ 的结果是一族函数 $F (x) + C$ ； $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 的结果是一个数。
忘了轴下方算负值。定积分默认是净面积，不一定是总面积。
把 $d x$ 当装饰。它表示切片方向和小宽度，和黎曼和里的 $Δ x$ 对应。
上下限调换会变号。Paul's Online Notes 列出的基本性质包括 $\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$ ，区间方向变了，符号也跟着变。1

记住今天这句话：定积分不是「求一个原函数」本身，而是「把一段区间上的小累积加到极限」。下一期我们再讲为什么很多定积分可以直接用

F (b) - F (a)

快速计算。

定积分的定义：把无数个小矩形加到极限

直觉铺垫：先把曲线下方切成小矩形

精确定义：定积分是一个极限

例题 1：用定义算 $\int_{0}^{1} x d x$

例题 2：为什么 $\int_{- 1}^{1} x d x = 0$

常见误区

参考ソース

関連コンテンツ

直觉铺垫：先把曲线下方切成小矩形

精确定义：定积分是一个极限

例题 1：用定义算 ∫01​xdx

例题 2：为什么 ∫−11​xdx=0

常见误区

参考ソース

関連コンテンツ

例题 1：用定义算 $\int_{0}^{1} x d x$

例题 2：为什么 $\int_{- 1}^{1} x d x = 0$