函数极限与无穷小量：从直觉到 ε-δ 定义

上一期我们用 ε-N 语言精确描述了「数列趋近某个值」的含义。今天进一步：当自变量 $x$ 趋近某个实数

x_{0}

时，函数值 $f(x)$ 会趋近什么？这就是函数极限。它与数列极限的逻辑骨架一模一样，但描述工具从 N 换成了 δ。

先建直觉：函数值怎么算「趋近」

考虑函数

f (x) = \frac{sin x}{x}

，想知道它在

x \to 0

时的行为。直接代入 $x = 0$ 不行——分母为零，$f(0)$ 没有定义。

但可以代几个很小的数试试：

$x$	$f (x) = sin x / x$ （保留 6 位）
0.1	0.998334
0.01	0.999983
0.001	0.999999
−0.01	0.999983

$x$ 从正负两侧趋近 0，$f(x)$ 都越来越靠近 1。这就是直觉上的「极限为 1」——

f (x_{0})

的值（甚至

f (x_{0})

是否存在）无所谓，关键是 $x$ 足够近时 $f(x)$ 能不能稳定地贴近某个数。

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sinc 函数

sin (x) / x

在 $x=0$ 处的极限为 1，尽管该点无定义。1

ε-δ 精确定义

仿照数列极限的 ε-N 语言，函数极限的严格表述如下：

定义：设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义。若存在实数 $L$，使得：对任意 \varepsilon > 0!，存在 \delta > 0!，当 0 < |x - x_0| < \delta! 时，都有 |f(x) - L| < \varepsilon!，则称 $L$ 是 $f(x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的极限，记作 $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$

几个细节值得注意：

条件写的是 0 < |x - x_0| < \delta!，不包含 $x = x_{0}$ 本身。极限只关心「趋近过程」，不关心该点的函数值。
$ε$ 刻画「$f(x)$ 与 $L$ 之间允许的最大误差」， $δ$ 刻画「$x$ 与 $x_{0}$ 之间允许的最大距离」； $δ$ 由 $ε$ 决定， $ε$ 越小，往往 $δ$ 也要跟着缩小。
这是一个「任意…存在…使得…」的全称-存在量词嵌套：要对所有精度要求 $ε$ 都能找到对应的 $δ$ ，极限才成立。

无穷小量

极限定义顺带引出一个重要概念：无穷小量。

若

lim_{x \to x_{0}} α (x) = 0

，则称

α (x)

是

x \to x_{0}

时的无穷小量。注意无穷小量是函数，不是数字 0——它的特征是「在趋近过程中任意接近零」。

无穷小量有两个立刻能用上的性质：

有界量 × 无穷小 = 无穷小：若 $∣ g (x) ∣ \leq M$ （有界）， $α (x) \to 0$ ，则 $g (x) α (x) \to 0$ 。
极限与无穷小等价： $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ 当且仅当 $f (x) = L + α (x)$ ，其中 $α (x)$ 是无穷小量。

第 2 条在后续证明里用得很多：想证极限等于 $L$，等价于证 $f(x) - L$ 是无穷小量。

例题演示

例题一：用 ε-δ 定义证明极限

证明

x \to 2 lim (3 x - 1) = 5

。

分析：要让 |(3x-1) - 5| < \varepsilon!，即 |3x - 6| = 3|x-2| < \varepsilon!，只需 |x - 2| < \dfrac{\varepsilon}{3}!。

证明：给定任意 \varepsilon > 0!，取

δ = \frac{ε}{3}

。当 0 < |x - 2| < \delta! 时：

|(3x-1) - 5| = 3|x - 2| &lt; 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon

因此

x \to 2 lim (3 x - 1) = 5

。

■

例题二：利用无穷小性质快速判断

求

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}

。

分析：

sin \frac{1}{x}

在

x \to 0

时震荡，极限不存在；但它有界：

sin \frac{1}{x} \leq 1

。而

x \to 0

，故 $x$ 是无穷小量。

由「有界量 × 无穷小 = 无穷小」：

x sin \frac{1}{x} - 0 = ∣ x ∣ \cdot sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣ \to 0

所以

x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0

。

x sin (1/ x)

的振荡幅度随 $|x|$ 缩小，被

y = \pm ∣ x ∣

夹住趋于 0，直观呈现「有界 × 无穷小 = 无穷小」。2

常见误区

误区一：极限值等于该点的函数值。 函数极限与

f (x_{0})

无关。

f (x_{0})

可以不等于极限值，甚至可以不存在（如

sin x / x

在 $x=0$）。

误区二：左极限和右极限各存在，极限就存在。 极限存在要求左极限 $= $ 右极限。若

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) \neq = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)

，极限不存在。

误区三：无穷小量就是「很小的数」。 无穷小量是函数（或数列），描述的是趋近行为；一个固定的小数（如 $0.000001$）不是无穷小量。

延伸阅读：极限 (数学) - 维基百科 3