24/6/2026 · 8:13
微分与近似：用切线估计函数的微小变化
第13期讲微分与线性近似：把曲线在一点附近看成切线，分清 dx、dy 与 Δy，并用两个基础例题演示如何估计函数的微小变化。
导数算出来以后，最直接的用法不是马上做复杂应用，而是回答一个很朴素的问题： 只动一点点， 大概会动多少？微分给的答案是：先别急着重算函数值，沿着切线走一小步，通常就够准。
直觉铺垫：曲线在很小范围里像直线
假设你站在曲线 的某个点 上。放大这个点附近的图像，曲线会越来越像它在这个点的切线。线性近似就是把这条切线拿来当函数的近似：
Paul's Online Notes 把这条切线称为 在 附近的 linear approximation，并提醒：离 越近，近似通常越好；离得远，误差就可能变大。1
Cargando tarjeta de estadísticas…
精确定义：
对函数 ，把 看成自变量 的一个微小改变量，对应的微分定义为
如果只写函数 ，也可以写成 。Paul's Online Notes 在微分章节中给出同样的关系，并用它来近似函数的真实改变量。2
真实变化量是
而微分给出的近似是
这句话的意思很具体：把曲线从 到 的小段，暂时看成切线上的一小段。
例题 1：用微分估计真实改变量
已知 。当 从 变到 时，估计 的变化量，并和真实变化量比较。
分析思路：这里 。先算导数，再用 。
在 处，
真实变化量是
所以 ，。误差只有 。这就是「局部像直线」的计算版： 只动了 ，曲线的弯曲还没来得及显出太大影响。
例题 2：用线性近似估算
取 ，在 附近近似。因为
所以线性近似为
于是
计算器给出的真实值约为 ，近似值已经很接近。这里不是因为 很简单，而是因为 离 很近。
Cargando gráfico…
图里能看到， 时两条线几乎贴在一起；到 ，切线还按固定斜率往上走，曲线已经弯下去了，误差自然变大。
常见误区
- 把 当成永远精确的 。 只有函数本身是一次函数时，切线和函数完全重合， 才等于 。一般曲线只能说 近似 。
- 忘记在指定点代入导数。 做近似时用的是 ，不是随便写一个 就结束。
- 离基准点太远还硬用线性近似。 线性近似的好处是快，限制也是快：它只记住了取点处的斜率，没记住后面斜率怎样变化。
记住一句话就够了：微分不是把曲线变成直线，而是在一个很小的范围里，用切线替曲线算一笔近似账。
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