两个重要极限：sin x/x → 1 与 (1+1/n)^n → e

为什么高数书上要专门列出这两个极限？

学极限学到这里，你已经能用四则运算法则拆式子、用夹逼定理夹住振荡函数。但很快会碰到一堵墙：有一类极限，代入直接算是

\frac{0}{0}

型，夹逼又不好找界，极限运算法则直接失效。

\frac{s i n x}{x}

，当

x \to 0

时，分子分母同时趋向 0，没法直接约分，也没法拆开算——这不是代数问题，是三角函数与多项式之间深层的比值关系。

高数课程里把这两个极限单独列为「重要极限」，是因为它们是解决

\frac{0}{0}

和

1^{\infty}

两大不定型的核心工具，后续的导数公式、换元技巧、泰勒展开都要反复用到它们。

第一个重要极限： $\frac{s i n x}{x} \to 1$

先有感性认识

打开计算器，试几个

x

接近 0（但不等于 0）的值：

sin(x)/x 的数值逼近

x 趋近 0 时，比值稳定收敛至 1

x = 0.5

x = 0.1

x = 0.01

x = 0.001

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x

越小，比值越接近 1。当

x

从正方向趋近 0，这个比值从 1 的下方逼近；当

x

从负方向趋近，由于

sin (- x) = - sin x

，比值同样逼近 1。两侧极限一致，所以极限存在。

精确表述

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

这个极限需要「面积夹逼」来严格证明，而不能靠代数化简。1

证明思路（单位圆几何法）：在单位圆（半径为 1）中，取圆心角为

x

（

0 < x < \frac{π}{2}

）。三个面积之间存在不等关系：

三角形 OAB 的面积 \leq 扇形 OAB 的面积 \leq 三角形 OAT 的面积

分别计算后化简，得到：

cos x \leq \frac{sin x}{x} \leq 1

当

x \to 0^{+}

时，

cos x \to 1

，由夹逼定理（正是上一期学过的工具）得

\frac{s i n x}{x} \to 1

。负方向由对称性补全。2

例题 1：利用第一重要极限求极限

题目：求

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x}

分析：分子是

sin 3 x

，和第一重要极限的形式对不上——重要极限要求

\frac{s i n □}{□}

，即分母必须和

sin

里的自变量一致。

解：

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{3 x} \cdot 3 = 3 \cdot x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{3 x}

令

u = 3 x

，当

x \to 0

时，

u \to 0

，所以：

= 3 \cdot u \to 0 lim \frac{sin u}{u} = 3 \times 1 = 3

关键操作：把分母从

x

补成

3 x

（同时分子乘以 3 保持等值），让「

sin

里面是什么，分母就是什么」这一结构显出来。这个配凑技巧将在等价无穷小替换专题中得到更系统的处理。

第二个重要极限： $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e$

从银行利率说起

假设银行年利率 100%（这是数学假设，现实中不存在）：

年末一次性结算：本金翻一倍，1 元变 2 元
每半年结算一次： $1 \times (1 + \frac{1}{2})^{2} = 2.25$ 元
每月结算一次： $(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2.613$ 元
每天结算： $(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2.7146$ 元

结算频率越高，最终金额越大——但增长在放缓，不会无限涨下去。当结算次数

n \to \infty

，极限就是数学常数

e \approx 2.71828

。3

下表展示这个逼近过程：

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精确表述

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

更常用的连续变量形式：

x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

两种写法本质一样——令

x = \frac{1}{n}

，

n \to \infty

对应

x \to 0^{+}

。这个极限的严格证明需要单调有界定理，通常在「数列收敛」一节后跟进。4

两个重要极限一览

高数极限部分的核心工具

第一重要极限

sin x / x → 1

第二重要极限

(1+1/n)ⁿ → e

e 的近似值

主要用途

0/0 型和 1∞ 型不定式

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例题 2：求 $lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$

题目：求

x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}}

分析：当

x \to 0

时，底数

(1 + x) \to 1

，指数

\frac{1}{x} \to \infty

，这是

1^{\infty}

型不定式——看起来像是「1 的任何次幂等于 1」，但指数趋无穷，两者的竞争产生不平凡的结果。

解：与第二重要极限的连续变量形式完全一致：

x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

进阶变形题：求

x \to 0 lim (1 + 2 x)^{\frac{1}{x}}

解：凑成标准形式，令指数的结构变成「底数里的那个量的倒数」：

x \to 0 lim (1 + 2 x)^{\frac{1}{x}} = x \to 0 lim [(1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}]^{2} = e^{2}

关键操作：把

\frac{1}{x}

改写成

\frac{1}{2 x} \cdot 2

，让内层括号与第二重要极限对应，整体取 2 次幂。

常见误区与注意事项

误区 1： $\frac{s i n x}{x}$ 在 $x = 0$ 处有定义吗？

没有。

x = 0

时分母为 0，表达式无意义。「极限等于 1」描述的是趋近过程中的行为，不是

x = 0

处的函数值。极限存在与函数值是否存在无关，这是极限概念的核心要点（第 2 期强调过的内容）。

误区 2：第一重要极限只对 $\frac{s i n x}{x}$ 成立

不正确。只要分子

sin

里的内容与分母完全一致，就可以用：

\frac{s i n u}{u} \to 1

（

u \to 0

）。上面的例题 1 就是把

\frac{s i n 3 x}{x}

改写后应用。

误区 3： $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e$ 只对整数 $n$ 成立

实际上连续变量版本

lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/ x} = e

同样成立。整数版本是离散场景，连续版本更通用，后续换元时经常用到。

误区 4： $1^{\infty} = 1$

在极限语境中，

1^{\infty}

是不定型，结果不一定是 1，取决于底数趋近 1 的速度与指数趋近无穷的速度之间的竞争。第二重要极限就是这种竞争给出的一个具体答案：

e

。

下期预告

掌握了这两个重要极限，下一期将进入无穷小的比较与等价无穷小替换。当

x \to 0

时，

sin x

与

x

的比值恰好趋向 1，这意味着二者是「等价无穷小」——可以在极限中互相替换。这个思路可以把很多复杂的

\frac{0}{0}

型极限变成一步直接结论。5

两个重要极限：sin x/x → 1 与 (1+1/n)^n → e

为什么高数书上要专门列出这两个极限？

第一个重要极限：xsinx​→1

先有感性认识

精确表述

例题 1：利用第一重要极限求极限

第二个重要极限：(1+n1​)n→e

从银行利率说起

精确表述

例题 2：求 limx→0​(1+x)x1​

常见误区与注意事项

下期预告

参考来源

第一个重要极限： $\frac{s i n x}{x} \to 1$

第二个重要极限： $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e$

例题 2：求 $lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$