函数连续性与间断点：把极限和函数值接起来

连续最朴素的图像感是「笔不离纸」。但考试里不能只靠画图，因为同一张图上，一个空心点、一个跳台阶、一个竖直爆掉的尖峰，都会让函数在某点不连续。

这期先把判断标准压成一句话：在点 $x_{0}$ 连续，就是 $x \to x_{0}$ 时函数值的极限存在，而且刚好等于函数在该点的取值。 连续函数通常被理解为输入发生足够小的变化时，输出也只发生足够小的变化；严格到一点上，就写成

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

。1

连续性的三件套

判断 $f(x)$ 在 $x_0$ 是否连续，三项缺一不可。

函数值存在

$f(x_0)$ 有定义

极限存在

$\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在

二者相等

$\lim f(x)=f(x_0)$

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直觉铺垫：靠近点，不等于站在点上

先看

f (x) = x^{2}

。当

x

靠近 1 时，

f (x)

靠近 1；而函数在 1 处的值也是 1，所以它在 1 处连续。

再看一个挖掉点的函数：

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}, 0, x \neq = 1, x = 1.

当

x \neq = 1

时，

f (x) = x + 1

，所以

x \to 1

时极限是 2。可函数偏偏规定

f (1) = 0

。图像左右都朝着 2 走，到了点上却落在 0，这就断了。

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精确定义：连续就是一个等式成立

设函数

f (x)

在

x_{0}

的某个邻域内有定义。若

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}),

就说

f (x)

在

x_{0}

处连续。

把它拆开看，就是三步：

先看点上有没有值： $f (x_{0})$ 必须存在。
再看靠近时有没有共同终点：左极限、右极限都要存在且相等。
最后比较终点和值：极限值必须等于 $f (x_{0})$ 。

如果函数在区间内每一点都连续，就说它在这个区间上连续。多项式函数在整个实数轴上连续；分式函数则要先排除分母为 0 的点，再谈它在定义域内的连续性。

例题 1：判断分段函数在拼接点是否连续

判断函数

f (x) = {x^{2} + 1, 2 x, x < 1, x \geq 1

在

x = 1

处是否连续。

分析思路：分段函数最怕拼接点。只要检查左极限、右极限和点上函数值。

左边靠近：

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1^{-} lim (x^{2} + 1) = 2.

右边靠近：

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim 2 x = 2.

点上取值：因为

x = 1

属于第二段，

f (1) = 2 \times 1 = 2.

三者都等于 2，所以

f (x)

在

x = 1

处连续。

例题 2：补上一个值，让函数连续

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}, a, x \neq = 2, x = 2.

若

f (x)

在

x = 2

处连续，求

a

。

当

x \neq = 2

时，

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2.

所以

x \to 2 lim f (x) = x \to 2 lim (x + 2) = 4.

要连续，就必须让点上的值等于这个极限：

a = f (2) = 4.

这类题的核心不是「把

x = 2

代进去」，而是先把可约去的因子处理掉，再看靠近时应该落到哪里。

间断点：三种常见断法

函数不连续的点叫间断点。在一元实函数里，常按左右极限的行为来区分：可去间断、跳跃间断和第二类间断。可去间断的左右极限相等但点上取值不对或未定义；跳跃间断的左右极限都存在但不相等；第二类间断至少有一侧极限不存在或趋于无穷。2

间断点速查

先看左右极限，再看点上取值。

可去间断

左右极限相等，点上值错了

跳跃间断

左右极限都存在，但不相等

第二类间断

至少一侧极限不存在或无穷

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常见误区：连续不是「看起来差不多」

第一，函数值存在不代表连续。只给

f (x_{0})

安一个值，不能保证附近的函数值会靠近它。

第二，极限存在也不代表连续。例题 2 里，

x \to 2

的极限是 4；如果点上规定成

a = 0

，函数仍然不连续。

第三，分段函数不要只代入拼接点。左右两侧的表达式可能把图像接上，也可能留下台阶。判断顺序永远是：左极限、右极限、函数值。

做题顺序

遇到连续性判断题，按这四步写，基本不会漏。

1 左极限

$\lim_{x\to x_0^-}f(x)$

2 右极限

$\lim_{x\to x_0^+}f(x)$

3 点上值

$f(x_0)$

4 比较

三者是否相等

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学到这里，极限这一章的主线就收束了：极限负责描述「靠近时会怎样」，连续性则把「靠近的结果」和「点上的真实取值」接在一起。下一讲进入导数：先从平均变化率走到瞬时变化率。

函数连续性与间断点：把极限和函数值接起来

直觉铺垫：靠近点，不等于站在点上

精确定义：连续就是一个等式成立

例题 1：判断分段函数在拼接点是否连续

例题 2：补上一个值，让函数连续

间断点：三种常见断法

常见误区：连续不是「看起来差不多」

Fuentes de referencia