丘成桐新论文致谢了GPT和Claude
丘成桐参与的新论文在致谢里感谢了 ChatGPT 6 Astra 和 Claude Pro：它宣称证明了七维空间全部 28 种光滑球面都能配上正截面曲率的度量，补上数学界卡了半个世纪的那一步——这篇拆开它究竟证明了什么、难在哪里、AI 具体帮了什么忙。
本文转载自微信公众号「量子位」2026 年 10 月 2 日推送的文章《丘成桐新论文致谢了 GPT 和 Claude》，作者克雷西，发自凹非寺，量子位｜公众号 QbitAI。原文链接：丘成桐新论文致谢了 GPT 和 Claude。
「AI 不可能对最尖端的数学家有任何影响」……吗？
说这句话的人，是丘成桐。
2023 年 4 月，在复旦大学浦江科学大师讲坛前夕接受第一财经采访时，他说：「人工智能不可能对最尖端的数学家有任何影响，对于普通数学家可能会有一些影响。」他当时还认为，AI 的局限在于只能把很多现有的资料整合起来、融会贯通，很难形成科学观念上的突破。1
三年后，他自己参与的一篇论文，在致谢里写下了这样一段话：
The authors are grateful to AI models, specially ChatGPT 6 Astra and Claude Pro, for valuable assistance with the exploration of some of the proof strategies and calculations. That said, we take responsibility for the human verification and exposition.
翻成中文是：作者感谢 AI 模型，特别是 ChatGPT 6 Astra 和 Claude Pro，在部分证明策略的探索和计算中提供了有价值的帮助；但人工验证和论文表述的责任，由作者自己承担。2
论文名为《Positive Sectional Curvature on All Smooth 7-spheres》，2026 年 9 月 24 日提交到 arXiv，编号 2609.29426，全文 32 页。三位作者分别是 Yang-Hui He（伦敦数学科学研究所、牛津大学默顿学院）、Ziran Liu（上海数学与交叉学科研究院、复旦大学）和丘成桐（清华大学丘成桐数学科学中心）。目前能查到的发表记录只有 arXiv 上的这一版，还没有期刊信息。3
这篇论文处理的，是微分几何里一个悬了 70 年的经典问题。
问题出在七维空间的球面上：那里的球面有 28 种不同的「版本」，其中 27 种和我们熟悉的球面微妙地不同，数学上叫「怪球」。数学家一直想知道，这些怪球能不能像普通球面一样，每个地方都均匀地向内弯。怪球 1956 年就被发现了，这个问题从那时起一直没有答案；量子位原文提到，丘成桐 1982 年把它列进了自己的问题清单，排在第二位。
七维空间的 27 种「怪球」
1956 年，美国数学家米尔诺（John Milnor）构造出了一种奇怪的东西。
它和标准的七维球面在拓扑上完全一样——你可以把它想象成一团橡皮泥，随便揉捏、拉伸，都能变成普通的球面。但如果禁止揉捏，只允许光滑地变形，也就是每一个点的移动方式都平缓过渡、不许有突变，它就变不回去了。
这种球面和标准球面「形状一样，手感不同」，数学上叫做「怪球」（exotic sphere）。米尔诺凭这个发现拿了菲尔兹奖。
七年之后，科维尔（Kervaire）和米尔诺证明，七维空间里这种「光滑版本」一共有 28 种：标准球面算其中一种，其余 27 种都是怪球。这 28 种构成一个代数结构，数学上记作 Θ₇ ≅ Z/28Z。3
标准球面有一个很好的性质：它的「截面曲率」处处为正。通俗地说，就是这个球面的每一小块、从每一个角度去看，都是向内弯曲的，没有任何一个地方是平的或者向外翻的。数学家自然想知道，另外那 27 个怪球，能不能也做到这一点。
最先取得突破的是格罗莫尔（Gromoll）和迈耶（Meyer）。1974 年，他们在一个怪球上构造出了「非负曲率」的度量：这个怪球的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的，但不会向外翻。3
2020 年，格特（Goette）、凯林（Kerin）和尚卡尔（Shankar）把这个结果推广到了全部 28 种球面，证明每一种都能配上非负曲率的度量。他们的论文发在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上，摘要里的结论是：七维空间里的所有怪球，都允许一个 SO(3) 不变的非负曲率度量。3
但从「非负」到「正」，也就是从「允许有些地方不弯」到「每个地方都必须弯」，中间还差最后一步。这一步看似微小，实际上卡了数学界半个多世纪。
2008 年，彼得森（Petersen）和威尔海姆（Wilhelm）曾发布预印本，声称在一个怪球上做到了正曲率，但这篇证明始终没有通过同行评审。新论文在引言里的措辞更谨慎：它把 Petersen–Wilhelm、Ouyang，以及 Guo–Fang–Lu 的构造一起列为「被提出过」（proposed）的结果，而不是已经确立的结论。3
丘成桐参与的这篇论文，宣称补上的正是从「非负」到「正」的这一步：它证明 28 种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。如果这个结果最终被数学界接受，这个悬了许久的问题将被彻底解决。
论文自己对这个结果的定位是：给 Brendle–Schoen 微分球定理的排除性结论补上一句相反的注脚——正截面曲率本身，并不排除 S⁷ 上的任何一种光滑结构。2
两块圆盘，一道接缝
为什么从「非负」跨到「正」这么难？其中一个原因很微妙。
布伦德尔（Brendle）和舍恩（Schoen）的微分球定理证明过：如果一个流形上的正曲率太均匀，也就是在任意一点、任意方向上，最大曲率和最小曲率之比都不超过 4，那这个流形一定和标准球面「光滑等价」。换句话说，怪球上的正曲率必须正，但不能正得太均匀，否则它就不再是怪球了。留给构造的空间，因此极为狭窄。2
论文的核心思路，是把每一个怪球切成两半。
具体地说，作者采用了杜兰（Durán）、普特曼（Püttmann）和里加斯（Rigas）提出的「双圆盘模型」。在这个模型里，每一种七维球面都可以看成两个七维圆盘沿着各自的边界粘合而成，28 种球面对应 28 种不同的粘合方式。2
于是问题就变成了：能不能在每块圆盘上分别造出一个处处向内弯的度量，而且两块圆盘在接缝处严丝合缝。
作者并不是直接在七维圆盘上造度量。他们先以三维球面 S³ 为纤维搭出「主丛」，把问题搬到一个十维空间里：在七维圆盘的每一个点上，都站着一个三维的小球，所有这些小球加在一起，就构成了一个十维空间。在这个十维空间上造度量，技术上更容易控制。2
然后，他们通过一种叫「黎曼淹没」（Riemannian submersion）的操作，把十维空间的度量「投影」到七维圆盘上。这里的关键工具叫「奥尼尔公式」（O'Neill formula），它保证了一件事：从十维投影到七维之后，曲率只会变大或不变，不会变小。所以作者只需要在十维空间里把曲率做到正的，投影下来的七维度量就自动满足条件。2
而在十维空间里做到正曲率的核心技巧，是把那些三维小球的「半径」取到极小。纤维越细，它自身的弯曲程度就越大，这份巨大的曲率足以压住其他方向上可能出现的负曲率贡献。2
但两块圆盘的构造方法并不对称：「南盘」用的是一个弯曲的底盘加上精心选取的联络（connection），「北盘」用的则是扁平的乘积联络配合翘曲的径向轮廓。两种方法各有各的技术难点，而它们在边界处必须完美对接，具体要满足两个条件：一是边界上诱导出的度量要完全一致，二是两侧的「第二基本形式」（second fundamental form），也就是边界处的弯曲程度，加起来之后在每个方向上都严格为正。2
为了证明这两个条件，论文先在两块圆盘的公共边界上建立同一套坐标，然后证明在这套坐标下，两侧的纤维半径关于法向的导数刚好相反。于是，纤维部分对第二基本形式的贡献在拼接时正好抵消，而角向部分的贡献加起来是严格为正的。满足这两个条件之后，赖泽（Reiser）和雷斯（Wraith）的拼接定理就能保证，粘合后的整个球面上存在一个光滑的正曲率度量。2
论文还附带了一套用 SageMath 编写的验证代码：里面既有代数与曲率恒等式、坐标与边界相容公式的精确符号检查，也有独立的结果校验器。整个构造涉及大量曲率不等式的精确估计和参数选取，仅靠人工逐一核查几乎不可能完成，计算机验证在这里是证明可信度的重要支撑。4
丘成桐与 AI 这三年
丘成桐对 AI 的态度，这几年经历了一条清晰的变化轨迹。
2023 年 4 月，他的说法是「不会有任何影响」。1
2024 年 4 月，他在中关村论坛上的口径软化了一些，变成「人工智能对数学有很多好处，可以帮助数学发展，但不可能改变数学」。5
到了今年，他的口风已经明显不同：1 月在世界华人数学家大会上，他说 AI 改变的是科研效率，但还谈不上范式革命；6 月，他又说 AI 能解很多「nice, cute questions」，但离改变整个数学的突破还很远；7 月在国际弦理论大会上，他已经主张学生应该尽早学习使用 AI 工具——查资料、找文献、归纳总结这些事情，AI 都能帮上忙。
然后就是这篇论文。他和两位合作者在致谢里感谢了 ChatGPT 6 Astra 和 Claude Pro「在部分证明策略的探索和计算中提供的帮助」，紧接着补了一句：人工验证和论文写作的责任由作者自己承担。
尽管依然克制，但和三年多之前那句「不会有任何影响」相比，丘成桐已经不再把 AI 挡在自己的研究之外了。
AI 在数学界的存在感，已经强到让顶尖数学家集体表态。
陶哲轩是这一波 AI 浪潮里最早拥抱 AI 的顶尖数学家，他把 AI 当作「研究助理」，用它辅助代码生成、文献检索和形式化证明验证。但他和今年的菲尔兹奖得主邓煜等 25 位菲尔兹奖得主，在 9 月 11 日联合发表了一份公开信《人工智能在数学中的严重错位》，警告 AI 公司把解决数学问题当作 benchmark 来冲刺的做法，与数学共同体的目标已经出现「严重偏移」。6
在他们看来，数学研究的核心追求是概念理解与洞见，解题只是实现这个目标的工具。
丘成桐也表达过相似的观点。就在这篇论文发出四天之前，他表示：AI 能够汇集既有知识、推动常规工作，但人往往因为已经得到想要的答案，反而不敢去问更重要的问题。他认为，AI 无法替代人类独有的原创思考和瞬时迸发的灵感。
丘成桐和陶哲轩对 AI 的关切，其实是相通的。他们都在追问同一件事——当 AI 越来越能解题，数学家还愿不愿意继续去问那些 AI 解不了的问题。
References
- 1对话「数学之王」丘成桐：AI 十年内不会改变社会结构｜第一财经
yicai.com
- 2论文全文（含致谢段落）
arxiv.org
- 3
- 4PosSecSmoothS7：论文附带的 SageMath 验证代码与证书
zliu-math.github.io
- 5丘成桐谈 AI：帮助数学但不能改变数学｜清华大学
tsinghua.edu.cn
- 6陶哲轩、邓煜等 25 位菲尔兹奖得主联合声明《人工智能在数学中的严重错位》｜凤凰网
i.ifeng.com
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