王的猜想，刚刚扩展到四维
OpenAI 一次放出 722 篇数学手稿，其中两篇把王虹拿奖的挂谷猜想从三维推到四维：这篇讲清它们各自证了什么、边界在哪里，以及数学界为什么集体反弹。
本文转载自微信公众号「量子位」2026 年 10 月 10 日推送，作者：听雨（发自凹非寺 量子位 | 公众号 QbitAI）。原文：《王的猜想，刚刚扩展到四维》
今年 7 月，王虹、邓煜在费城国际数学家大会上拿下菲尔兹奖。
消息刷屏那几天，Anthropic 员工 Alek Dimitriev 在 X 上写下一句：这届菲尔兹奖，将是人类最后一次拿到这个奖1。
往届得主 Timothy Gowers 跟帖，说自己也有过类似的想法：不过这个过程有滞后，所以我想他们大概能撑到 2030 年2。
谁能想到，Gowers 可能还是乐观了。
10 月 6 日（当地时间），OpenAI 一口气放出 722 篇数学手稿，论文和部分 Lean 证明全部上传 GitHub3。
量子位原文按北京时间，把这天记作 10 月 7 日。
其中编号 074 的一组只有两篇，正是王虹拿奖的那个方向：挂谷猜想。
一篇声称证明了三维挂谷极大函数猜想，比王虹和 Zahl 证明的版本更强；另一篇声称证明了四维挂谷猜想。
王虹与 Joshua Zahl 刚解决三维挂谷集维数猜想，AI 便把相关结果推到了四维。难道今年这届菲尔兹奖，真的是人类数学的最后一届？
OpenAI 的两篇挂谷论文，具体做了什么？
1917 年，日本数学家挂谷宗一提出一个问题：在平面上让一根长度为 1 的针掉头转一圈，最少需要多大的面积6？
Besicovitch 给出了一个反直觉的答案：面积可以任意小。更离谱的是，一个集合可以在每个方向上都装下一根单位长的针，面积却是零。
面积靠不住，数学家就换了一把尺子，改用「维数」来量。
这里的维数说的是 Hausdorff 维数、Minkowski 维数这类工具，用来衡量形状极不规则的集合在不同尺度下有多复杂。
一个集合的体积可以是零，但它仍可能拥有完整的空间维数。
挂谷猜想指的是：在 n 维空间里，只要一个集合在每个方向上都装得下一根单位线段，它的维数就必须是满的 n 维。
难点在于，这些看起来很细的线段如何交错、重叠，以及重叠之后还能不能把集合压得更小。
平面情形 1971 年就被 Davies 证完了。
三维卡了半个世纪，直到 2025 年 2 月被王虹和 Joshua Zahl 拿下；四维及以上，至今没人证出来。
OpenAI 这次公开的两篇手稿，分别处理了挂谷问题的两个版本。
第一篇：三维挂谷极大函数猜想
依然是三维，但题目换成了更难的版本。
可以先把它想成一个「管子重叠控制」问题：把许多根细长的管子放进三维空间，每根管子代表针的一个方向。
数学家要研究的是，当这些管子朝向各不相同时，它们能重叠到什么程度，又能否用一个统一的估计控制这种重叠。
王虹和 Zahl 证明的是「集合版」，研究这些针堆在一起至少占多大地方。
OpenAI 证明的「极大函数版」研究得更细：把每根针加粗成一根细管子，假设每根管子里只有一部分是「实心」的，比例记作 λ。
那么所有实心部分并在一起，体积能不能保证不小于 λ³ 这个量级？
λ 越小，管子越空，越难控制。集合版只需要一个比较宽松的 λ 的幂次就够了，极大函数版则要求这个幂次恰好是 3。
这一点在 OpenAI 论文的引言里也明确写出：王虹和 Zahl 的定理给出的是 λ 的 K(ε) 次方。
「换成 λ³ 的需要」在他们的定理之后就已经被明确提出。
也就是说，这是王虹和 Zahl 留下的下一步，而 OpenAI 这篇 97 页的论文，声称把这一步解决了。
这为什么重要？因为挂谷极大函数把「各种方向的细管如何挤在一起」变成了可计算的分析问题。
它与傅里叶分析中的一些核心猜想相连，也长期被认为是理解波、频率和空间集中现象的重要工具。
1971 年，Fefferman 就是用挂谷集合构造出反例，证明了高维的球乘子除 L² 外都不有界6。
此后挂谷问题就和傅里叶限制猜想、Bochner-Riesz 猜想紧紧联系在了一起。
第二篇：四维挂谷集的 Hausdorff 维数
四维这边，人类此前的进度是这样的：
- 1995 年，Wolff 用「发刷」方法证到维数至少 3；
- 后来 Guth 和 Zahl 用多项式方法推到 3+1/40，大约 3.025；
- 2019 年，Katz 和 Zahl 用「平面刷」推到 3.059；
- 之后的进展，基本都在小数点后第二三位上挪动。
而 OpenAI 这篇 175 页的论文，声称直接证到 4。
四维难在哪？Guth 在综述里指出，王虹和 Zahl 三维证明里的关键定理，搬到四维就不成立了。
原因在于高维空间里，管子可以扎堆聚在低次代数曲面附近，形成三维里没有的反例结构。
OpenAI 四维论文的核心工具瞄准了这个问题：用二次多项式在不同尺度上做局部拟合，追踪那些跨尺度持续聚集的线。
全文中，「polynomial」一词出现了 213 次。
还有一个细节：四维论文的关键输入之一，引用的正是三维那篇 OpenAI 论文里的一个引理。两篇论文是一条链路，三维的更强版本给四维铺了路。
因此也可以说，它把王虹的成果往前推了一大步：三维上把她的定理加强到了极大函数版本，四维上把一个卡在 3 点几的问题直接推到了 4。
但这篇论文依然有边界：四维只证了 Hausdorff 维数版本，没有解决四维的极大函数问题。
五维及以上也没有证完，论文只用投影给出了一个下界。
而且 074 号这组成果没有 Lean 形式化，也没有经过同行评审。OpenAI 在仓库说明里写道，一些未经形式化的结果「可能有问题」7。
这个提醒很快就有了实例。
仓库的更新记录显示，10 月 7 日 OpenAI 撤回了三篇手稿8。
起因是《Algebraicity of Weil classes on split abelian eightfolds》里的一个符号错误。
这个错误连带两篇依赖它的论文一起撤回。同一天，OpenAI 还修订了另外 14 篇。
发布当天的报道普遍写作 722 篇，撤掉这三篇之后，仓库目录里剩下 719 篇；形式化到顶层结果的比例是 300/719，约 42%。
王虹做了什么？
有人说，王虹赶在 AI 之前拿下菲尔兹奖，算是幸运。真的是这样吗？
翻开 OpenAI 这两篇论文的全文，出现最多的名字之一就是王虹。仅三维那篇，「Wang」就出现了 23 次。
三维挂谷这座山峰，人类数学家已经爬了很多年。
Katz、Łaba 和 Tao 很早就发现，近乎极端的管子构型会呈现三种结构：粘性、平面性、颗粒性。
但几十年里，没人能把它们做成一个完整的证明。
王虹和 Zahl 分了三步走：2022 年，先证了「粘性」挂谷集合的情形，后来发表在《美国数学会杂志》上。
2024 年，拿下 Assouad 维数版本。
2025 年 2 月，放出 127 页的完整证明，三维挂谷集合猜想的 Hausdorff 维数和 Minkowski 维数版本一起解决6。
Nets Katz 评价，这是「百年一遇的结果」。
同一时期，王虹还和任康解决了平面上的 Furstenberg 集合猜想，这也是调和分析里的一个老问题。
这些工作，现在都成了 OpenAI 论文的地基。
三维论文直接调用了 Guth、王虹、Zahl 三人的简化证明——Guth 正是王虹在 MIT 读博时的导师。
它还用到了任康和王虹的平面 Furstenberg 估计；四维论文则用到了王虹和 Zahl 的一个点积定理。
如果两篇论文最终被确认成立，它们也是在王虹搭好的框架上，往上加盖了两层。
王虹自己对 AI 的态度是接纳的。
获奖后接受采访时，她把 AI 形容为数学研究的「主动性助推器」，认为提出问题、创造概念、构建理论这些事，仍然是数学家的核心工作6。
人类数学界，已经炸了。。。
现在，大概就是人类数学的「危急存亡之秋」了。
过去一个重要数学结果的生命周期大概是：一个人或一个小团队花好几年做出来，挂到 arXiv，同行花一两年审稿，学界慢慢消化。
等结论水落石出，再过几年，奖项才最终敲定。
王虹和 Zahl 走完这条路，从 2022 年的粘性情形到 2026 年的菲尔兹奖，用了将近四年。
而 OpenAI 这次是一夜之间放出 722 篇手稿。
陶哲轩把它转到自己的博客上，声明的措辞相当严重：
数学家们并没有要求做这些工作。一次性发布 700 多个文件，展示的不是学术，而是权力。
声明最后强烈敦促所有数学家停止与 OpenAI 合作，回到以人类理解为核心的科学愿景。
陶哲轩本人一直是 AI 辅助研究的积极使用者，他反对的是把批量攻克著名难题当成产品展示。
在他看来，一道题被 AI 解掉，就没法再变回未解决的状态，人类数学家原本可能在这道题上发展出的新方法和新理解，也就跟着断掉了6。
而且现在，审稿成了最大的瓶颈。
一篇 175 页的四维挂谷证明，全世界能认真读懂的人屈指可数：谁来读、花多久、算谁的工作量，这些答案统统都未可知。
署名和归属也开始变得混乱。研究同一问题的学者，可能一觉醒来，就发现自己做了几年的题目已经被一个模型「声称」解决了。
当然，也有人感到兴奋。
多伦多大学的数学助理教授 Daniel Litt 认为，数学家接下来有大量激动人心的工作要做。
Yann LeCun 也认为恰恰相反，数学正在迎来新时代：形式证明将大幅自动化，重点会转向发展新概念、新抽象、新定义和新猜想6。
数学界正处在新旧秩序剧烈碰撞的关口，旧的研究方式受到冲击，新的轨道还没有成形。
Gowers 说，人类大概能撑到 2030 年，而下一届菲尔兹奖恰好就在 2030 年颁发。到那时候，还会有人类站上领奖台吗？
References
- 1Alek Dimitriev on X
x.com
- 2Timothy Gowers on X
x.com
- 3Sharing AI progress in mathematics
openai.com
- 4
- 5
- 6王的猜想，刚刚扩展到四维
mp.weixin.qq.com
- 7openai/math
github.com
- 8仓库更新记录
github.com
- 9
- 10AHM Statement on OpenAI's October 6 Release of Mathematical Documents
terrytao.wordpress.com
- 11
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