极限运算法则：拆开 lim 的四则运算，再学夹逼定理

拆开极限的四则运算，再学一个夹逼

前两期我们分别学了数列极限的 ε-N 定义和函数极限的 ε-δ 语言。这些定义是极限理论的地基，但每次都从定义出发证明极限，效率极低——真正做题时，你需要能快速把复杂极限拆开计算。

这一期的任务就是把这套「拆极限」的工具包装好，再学一个优雅的证明工具：夹逼定理。

极限的四则运算法则

基本形式

设

lim_{x \to a} f (x) = A

，

lim_{x \to a} g (x) = B

，则：

x \to a lim [f (x) \pm g (x)] = A \pm B

x \to a lim [f (x) \cdot g (x)] = A \cdot B

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{A}{B} (B \neq = 0)

说白了，只要两个极限分别存在，就可以把极限符号「移进去」分别作用在每个函数上，最后把结果合起来。

这三条法则有一个前提：

f

和

g

的极限都要存在且有限。若其中一个发散，不能乱用。

两条推论

1. 常数倍法则：

lim_{x \to a} [c \cdot f (x)] = c \cdot lim_{x \to a} f (x)

，极限符号和常数可以互换位置。

2. 幂次法则：

lim_{x \to a} [f (x)]^{n} = A^{n}

，

n

为正整数。由乘法法则反复使用即得。

例题一：用法则计算有理式极限

求

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 1}{x + 3}

分析：分母在

x = 2

处取值

2 + 3 = 5 \neq = 0

，可直接代入。

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 1}{x + 3} = \frac{lim _{x \to 2} ( x ^{2} - 1 )}{lim _{x \to 2} ( x + 3 )} = \frac{4 - 1}{2 + 3} = \frac{3}{5}

关键判断：使用商的法则之前，先确认分母极限不为零。分母为零时，需要进一步处理（约分、洛必达等），不能直接套法则。

例题二：分母趋于零时先约分

求

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

直接代入得

\frac{0}{0}

，商的法则失效——分母极限为零，不满足使用条件。

处理方法是先化简：

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1)

注意，

x \to 1

的过程中

x \neq = 1

，所以约分是合法的。约分后再取极限：

x \to 1 lim (x + 1) = 2

这道题展示了极限计算中最常见的一步：遇到 $\frac{0}{0}$ 型，先因式分解约掉公因子，再应用法则。

四则运算法则一览

三条基本法则的使用条件

加减法则

lim(f±g) = A±B

乘法法则

lim(f·g) = A·B

除法法则

lim(f/g) = A/B

統計カードを読み込んでいます…

直觉建立：三个函数互相挤压

四则法则处理代数式很顺手，但遇到含有

sin

、

∣ x ∣

或分段定义的函数时，往往没法直接拆开计算。这时候，夹逼定理（也叫夹挤定理、三明治定理）提供了另一条路。

定理表述：若在

x \to a

的某去心邻域内，对所有

x

都有

g (x) \leq f (x) \leq h (x)

且

lim_{x \to a} g (x) = lim_{x \to a} h (x) = L

，则

lim_{x \to a} f (x) = L

。

直觉图像：

f (x)

被夹在两条收敛到同一极限

L

的曲线之间，无论

f

如何抖动，最终也只能和它们趋向同一点。

チャートを読み込んでいます…

图中蓝色双线是上下界

g (x)

和

h (x)

，琥珀色曲线是被夹的

f (x)

，三条线都在

x = 0

处汇聚到零。

例题三： $x sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 处的极限

分析：

sin \frac{1}{x}

在

x \to 0

时剧烈震荡，极限不存在；但它的绝对值被 1 控制住：对所有

x \neq = 0

，

sin \frac{1}{x} \leq 1

两边乘以

∣ x ∣

（非负量，不改变不等号方向）：

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

由于

lim_{x \to 0} (- ∣ x ∣) = 0

且

lim_{x \to 0} ∣ x ∣ = 0

，由夹逼定理：

lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0

下面的折线图直观展示了这个夹逼的过程——当

x

靠近 0 时，

x sin (1/ x)

的值始终被

∣ x ∣

压制在零附近：

チャートを読み込んでいます…

振荡函数

x sin (1/ x)

（琥珀色）在

x \to 0

时幅度持续收缩，被蓝色双线严格夹住，最终趋向 0。

这道题在第 2 期也出现过，当时用「有界量乘无穷小」处理。现在用夹逼定理重新看，可以体会两种视角指向同一结论：

∣ sin (1/ x) ∣ \leq 1

就是有界性，夹逼就是把有界性变成双侧不等式形式化地表达出来。

容易踩到的坑

坑 1：两个极限都不存在，硬套加法法则

lim_{x \to \infty} sin x

不存在，

lim_{x \to \infty} (- sin x)

也不存在，但

lim_{x \to \infty} [sin x + (- sin x)] = lim_{x \to \infty} 0 = 0

。两个不存在的极限之和可以存在——所以法则只保证「都存在时可以拆」，反过来不成立。

坑 2： $\frac{0}{0}$ 型直接代入

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

在

x = 1

处没有定义，但极限存在。极限关注的是趋近过程，不关心该点是否有定义——遇到

\frac{0}{0}

，先化简再取极限。

坑 3：夹逼的上下界必须真的收敛到同一点

若上界趋于 5、下界趋于 3，夹逼定理不适用，中间函数的极限可能是 3 到 5 之间的任意值，也可能不存在。

本期小结

工具	适用场景	核心前提
四则运算法则	代数式、有理式、多项式	各部分极限分别存在且有限
夹逼定理	含振荡项或绝对值、难以直接计算	上下界收敛到同一极限

下一期将介绍两个重要极限：

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

和

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

——它们会在这期学到的夹逼定理里发挥关键作用。