链式法则：外层求导不动里，再乘内层导数

上期学完基本公式后，你已经能处理

x^{5}

、

e^{x}

、

sin x

，也能拆和差、积、商。但一碰到

sin (x^{2})

、

e^{3 x}

、

(2 x + 1)^{5}

，直接套公式就会少一步。链式法则补的正是这一步：函数里面还包着一个函数时，外层要导，内层的变化也要跟上。

直觉铺垫：外层在变，内层也在变

先看一个很小的复合函数：

y = (3 x + 1)^{2} .

如果把

u = 3 x + 1

，它就是

y = u^{2}

。当

x

增加一点点时，

u

不是跟着增加同样多，而是增加 3 倍；外层平方函数的斜率还要在当前的

u = 3 x + 1

处计算。

所以导数不是简单写成

2 (3 x + 1)

。还要乘上内层

3 x + 1

对

x

的导数 3，得到

y^{'} = 2 (3 x + 1) \cdot 3 = 6 (3 x + 1) .

链式法则先抓三件事

看到复合函数时，先别急着算，先把结构拆出来

外层

最后执行的函数

内层

被包进去的表达式

乘上

内层自己的导数

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精确定义：复合函数的导数公式

若

F (x) = f (g (x))

，并且

g

在

x

处可导，

f

在

g (x)

处可导，那么

F^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) .

Wikipedia 对链式法则的表述也是：复合函数

h (x) = z (y (x))

的导数为

h^{'} (x) = z^{'} (y (x)) y^{'} (x)

。1 Paul's Online Notes 也把它写成两种等价形式：

F^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

，或

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}

。2

这条公式可以口头记成一句话：外层求导，里面不动；再乘以内层导数。

以

y = (3 x + 1)^{2}

为例，漏掉内层导数会让结果整体少乘 3。

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例题 1：三角函数里套多项式

求

y = sin (x^{2} + 1)

的导数。

**分析思路：**外层是

sin u

，内层是

u = x^{2} + 1

。先对外层求导，

sin u

的导数是

cos u

；再把

u

换回

x^{2} + 1

，最后乘上

u^{'} = 2 x

。

y^{'} = cos (x^{2} + 1) \cdot (x^{2} + 1)^{'} = cos (x^{2} + 1) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2} + 1) .

这里不要把

sin (x^{2} + 1)

误当成

sin x

。三角函数表只告诉你

(sin u)^{'} = cos u

这一步；

u

自己怎么随

x

变，要由链式法则补上。

例题 2：链式法则可以连续用

求

y = ln ((x^{2} + 1)^{3})

的导数。

**分析思路：**这题有两层包装：最外层是

ln u

，中间层是

u = (x^{2} + 1)^{3}

，最里面是

x^{2} + 1

。可以从外往里一层一层乘。

先写第一层：

y^{'} = \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)^{3} .

再对

(x^{2} + 1)^{3}

用链式法则：

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)^{3} = 3 (x^{2} + 1)^{2} \cdot 2 x .

合在一起：

y^{'} = \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}} \cdot 3 (x^{2} + 1)^{2} \cdot 2 x = \frac{6 x}{x ^{2} + 1} .

Paul's Online Notes 在讲链式法则时也提醒，多层复合函数可以继续向里应用链式法则，复杂题里还会和积法则、商法则一起出现。2

链式法则做题顺序

遇到包得很深的函数，按这个顺序写不容易漏项

第一步

找最后执行的外层

第二步

外层求导，内层照抄

第三步

乘内层导数；还有内层就继续

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常见误区

第一，只导外层，忘记乘内层导数。

(5 x - 8)^{1/2}

的导数不是

\frac{1}{2 5 x - 8}

，还要乘上

(5 x - 8)^{'} = 5

，所以是

\frac{5}{2 5 x - 8}

。Paul's Online Notes 用这个例子说明幂函数公式单独使用会少掉内层的导数。2

第二，内外层分错。

cos^{4} x

通常表示

(cos x)^{4}

，外层是四次幂，内层是

cos x

；而

cos (x^{4})

的外层是余弦，内层是

x^{4}

。两个函数长得像，链式法则的第一步却不同。

第三，以为链式法则会替代积法则和商法则。它们解决的问题不同：看到

sin (x^{2})

这种「套进去」的结构，用链式法则；看到

(x^{2} + 1) sin x

这种「两个函数相乘」的结构，先用积法则，必要时在某一项内部再用链式法则。

学到这里，一元函数求导已经从「会查公式」进入「会拆结构」。下一讲可以继续往前走：高阶导数，也就是对导数再求导。